Номер 1.125, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.125. Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, быть пропорциональны числам:

1) 6, 3, 4, 2;

2) 8, 7, 13, 12?

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов трапеции:
1. Сумма всех внутренних углов любого выпуклого четырехугольника (в том числе трапеции) равна $360^\circ$.
2. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.

Пусть углы трапеции, взятые в последовательном порядке, это $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$. Тогда, согласно свойству 2, либо $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$ (если боковые стороны AB и CD), либо $\angle B + \angle C = 180^\circ$ и $\angle D + \angle A = 180^\circ$ (если боковые стороны BC и DA).

1) 6, 3, 4, 2

Пусть углы трапеции пропорциональны числам 6, 3, 4, 2. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда величины углов будут:
$\angle A = 6x$
$\angle B = 3x$
$\angle C = 4x$
$\angle D = 2x$

Сумма всех углов равна $360^\circ$:
$6x + 3x + 4x + 2x = 360^\circ$
$15x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь найдем величины каждого угла:
$\angle A = 6 \cdot 24^\circ = 144^\circ$
$\angle B = 3 \cdot 24^\circ = 72^\circ$
$\angle C = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ$
$\angle D = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$

Проверим, выполняется ли свойство о сумме углов при боковой стороне:
Вариант 1 (боковые стороны AB и CD):
$\angle A + \angle B = 144^\circ + 72^\circ = 216^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант невозможен.

Вариант 2 (боковые стороны BC и DA):
$\angle B + \angle C = 72^\circ + 96^\circ = 168^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант также невозможен.

Так как ни одна из пар соседних углов не дает в сумме $180^\circ$, такой четырехугольник не может быть трапецией.
Ответ: нет.

2) 8, 7, 13, 12

Пусть углы трапеции пропорциональны числам 8, 7, 13, 12. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда величины углов будут:
$\angle A = 8x$
$\angle B = 7x$
$\angle C = 13x$
$\angle D = 12x$

Сумма всех углов равна $360^\circ$:
$8x + 7x + 13x + 12x = 360^\circ$
$40x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{40} = 9^\circ$

Теперь найдем величины каждого угла:
$\angle A = 8 \cdot 9^\circ = 72^\circ$
$\angle B = 7 \cdot 9^\circ = 63^\circ$
$\angle C = 13 \cdot 9^\circ = 117^\circ$
$\angle D = 12 \cdot 9^\circ = 108^\circ$

Проверим, выполняется ли свойство о сумме углов при боковой стороне:
Вариант 1 (боковые стороны AB и CD):
$\angle A + \angle B = 72^\circ + 63^\circ = 135^\circ \neq 180^\circ$
Этот вариант невозможен.

Вариант 2 (боковые стороны BC и DA):
$\angle B + \angle C = 63^\circ + 117^\circ = 180^\circ$
$\angle D + \angle A = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$
Оба условия выполняются. Это означает, что основания трапеции параллельны (в данном случае, стороны AB и CD), а боковые стороны — BC и DA.

Так как нашлась пара соседних углов, сумма которых равна $180^\circ$, такой четырехугольник может быть трапецией.
Ответ: да.