Номер 1.121, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.121, страница 34.

Учебник rus.

1.121. От чертежа треугольника сохранились только три точки, которые были серединами его сторон. Восстановите чертеж треугольника.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть нам даны три точки M, N и P, которые являются серединами сторон искомого треугольника ABC. Без ограничения общности, пусть точка M – середина стороны AB, точка N – середина стороны BC, а точка P – середина стороны AC.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Такая линия всегда параллельна третьей стороне и равна её половине.

Исходя из этого свойства, мы имеем следующие соотношения для треугольника MNP, образованного заданными точками, и искомого треугольника $\triangle ABC$ :
• Отрезок MN является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне AC ($MN \parallel AC$).
• Отрезок NP является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне AB ($NP \parallel AB$).
• Отрезок PM является средней линией $\triangle ABC$, следовательно, он параллелен стороне BC ($PM \parallel BC$).

Таким образом, каждая сторона искомого треугольника ABC проходит через одну из заданных точек (свою середину) и параллельна стороне треугольника MNP, которая соединяет середины двух других сторон.

Решение (алгоритм построения)

1. Соединим данные точки M, N и P отрезками, чтобы получить вспомогательный треугольник MNP.
2. Через точку M проведем прямую, параллельную отрезку NP. Эта прямая будет содержать сторону AB искомого треугольника.
3. Через точку N проведем прямую, параллельную отрезку MP. Эта прямая будет содержать сторону BC искомого треугольника.
4. Через точку P проведем прямую, параллельную отрезку MN. Эта прямая будет содержать сторону AC искомого треугольника.
5. Точки пересечения этих трех построенных прямых и будут являться вершинами A, B и C искомого треугольника.

Обоснование корректности построения

Докажем, что построенный таким образом треугольник действительно является искомым. Пусть A, B, C — точки пересечения построенных прямых.

Рассмотрим четырехугольник AMNP. По построению, сторона AM лежит на прямой, параллельной NP, а сторона AP лежит на прямой, параллельной MN. Следовательно, AMNP является параллелограммом.

Аналогично, рассмотрим четырехугольники BNPM и CNPM. Они также являются параллелограммами, так как их противоположные стороны попарно параллельны по построению.

Из свойств параллелограмма (равенство противоположных сторон) мы получаем:
Из параллелограмма AMNP следует, что $AM = NP$.
Из параллелограмма BNPM следует, что $BM = NP$.
Следовательно, $AM = BM$, что по определению означает, что M — середина стороны AB.

Аналогично:
Из параллелограмма BNPM следует, что $BN = MP$.
Из параллелограмма CNPM следует, что $CN = MP$.
Следовательно, $BN = CN$, то есть N — середина стороны BC.

И для последней стороны:
Из параллелограмма CNPM следует, что $CP = MN$.
Из параллелограмма AMNP следует, что $AP = MN$.
Следовательно, $AP = CP$, то есть P — середина стороны AC.

Мы доказали, что точки M, N и P являются серединами сторон построенного треугольника ABC. Таким образом, построенный треугольник является искомым, и такое решение единственно.

Ответ: Для восстановления исходного треугольника по трем заданным точкам, являющимся серединами его сторон, необходимо выполнить следующие построения: через каждую из трех данных точек провести прямую, параллельную прямой, соединяющей две другие точки. Три построенные прямые пересекутся в трех точках, которые и будут вершинами искомого треугольника.