Номер 1.119, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.119. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна длине высоты, проведенной из вершины при основании (рис. 1.58).

Рис. 1.58

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $D$ — произвольная точка, лежащая на основании $AC$.

Обозначим расстояния от точки $D$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ как $DE$ и $DF$ соответственно. По определению расстояния, $DE$ и $DF$ являются перпендикулярами, опущенными из точки $D$ на стороны $AB$ и $BC$, то есть $DE \perp AB$ и $DF \perp BC$.

Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины при основании $A$ к боковой стороне $BC$, то есть $AH \perp BC$.

Необходимо доказать, что сумма расстояний $DE + DF$ равна длине высоты $AH$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $D$ с вершиной $B$, противолежащей основанию. Отрезок $BD$ разделяет треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Площадь исходного треугольника равна сумме площадей этих двух треугольников:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}$

Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через длину основания и высоту, проведенную к этому основанию.
Для $\triangle ABD$ в качестве основания возьмем сторону $AB$. Тогда высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр $DE$. Площадь равна:
$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE$
Для $\triangle CBD$ в качестве основания возьмем сторону $BC$. Высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр $DF$. Площадь равна:
$S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади $\triangle ABC$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DE + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Заменим в формуле $AB$ на $BC$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DE + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DF$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot BC$ за скобки:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (DE + DF)$

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно вычислить, используя ту же сторону $BC$ в качестве основания и высоту $AH$, проведенную к ней из вершины $A$:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Теперь мы имеем два выражения для одной и той же площади. Приравняем их правые части:
$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot (DE + DF) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$

Так как длина стороны $BC$ не равна нулю, мы можем сократить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{2} \cdot BC$:
$DE + DF = AH$

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна длине высоты, проведенной из вершины при основании. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.