Номер 1.117, страница 34 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.117, страница 34.

Учебник rus.

1.117. Как использовать свойство средней линии треугольника для определения расстояния между двумя пунктами, расположенными на разных берегах реки?

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Для определения расстояния между двумя пунктами, расположенными на разных берегах реки, с использованием свойства средней линии треугольника, необходимо выполнить следующую последовательность геометрических построений и измерений на местности.

Пусть точка $A$ находится на одном берегу реки (нашем), а точка $B$ — на противоположном, недоступном берегу. Расстояние, которое нужно определить, — это длина отрезка $AB$.

Метод основан на построении на доступной нам местности треугольника, в котором искомое расстояние $AB$ будет являться основанием, а отрезок, который мы можем измерить, — его средней линией.

Пошаговый план действий:

1. Выбор вспомогательной точки. На нашем берегу, где находится точка $A$, выберем произвольную третью точку $C$, из которой хорошо видна точка $B$. Точки $A$, $B$ и $C$ образуют вершины воображаемого треугольника $\triangle ABC$.
2. Нахождение середины одной из сторон. С помощью рулетки или другого измерительного инструмента измерим расстояние между точками $A$ и $C$ (обе находятся на нашем берегу). Найдем середину этого отрезка и обозначим ее точкой $M$. Таким образом, $AM = MC$.
3. Построение прямой, параллельной основанию. Теперь необходимо из точки $M$ провести прямую, параллельную отрезку $AB$. Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых: соответственные углы при пересечении секущей равны.
   • С помощью угломерного инструмента (например, теодолита, астролябии или простого самодельного приспособления) измерим угол $\angle BAC$.
   • Переместившись в точку $M$, отложим от луча $MC$ угол, равный измеренному углу $\angle BAC$. Построим луч $MN$ так, чтобы $\angle CMN = \angle BAC$. При таком построении прямая $MN$ будет параллельна прямой $AB$.
4. Определение второй точки средней линии. Точка $N$ — это точка пересечения построенного нами луча $MN$ и линии визирования (линии взгляда) из точки $C$ на точку $B$.
5. Применение свойства средней линии. Согласно теореме, обратной теореме о средней линии, если прямая ($MN$) проходит через середину одной стороны треугольника ($AC$) и параллельна второй стороне ($AB$), то она пересекает третью сторону ($BC$) в ее середине. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $BC$, а отрезок $MN$ — средней линией треугольника $\triangle ABC$.
   Важное замечание: Этот метод теоретически верен, но на практике точка $N$ окажется в реке или на противоположном берегу, так как она лежит на отрезке $BC$. Поэтому данный метод сложно реализуем.

Существует более практичный метод, который использует идею центральной симметрии, тесно связанную со свойствами средней линии. Он позволяет создать копию нужного нам треугольника на доступной местности.

Практический метод (метод построения симметричного треугольника):

1. Пусть $A$ — точка на противоположном берегу, а $B$ — точка на нашем берегу.
2. На нашем берегу выберем удобную точку $C$.
3. Измерим расстояние $BC$ и продолжим эту прямую за точку $C$ на такое же расстояние, отметив точку $D$. Таким образом, точка $C$ станет серединой отрезка $BD$ ($BC = CD$).
4. Теперь нам нужно определить на нашем берегу точку $E$, которая лежит на одной прямой с точками $A$ и $C$. Для этого нужно смотреть из-за точки $C$ на точку $A$ и отмечать на земле линию визирования.
5. Далее, необходимо построить отрезок $DE$ параллельно искомому отрезку $AB$. Для этого:
   • Измеряем в точке $B$ угол $\angle ABC$.
   • В точке $D$ строим угол $\angle CDE$, равный углу $\angle ABC$, так, чтобы луч $DE$ был направлен в ту же сторону относительно прямой $BD$, что и луч $BA$ относительно прямой $BD$.
6. Точка $E$ будет точкой пересечения луча $DE$ и ранее отмеченной линии визирования $AC$.
7. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EDC$:
   • $BC = DC$ (по построению).
   • $\angle ACB = \angle ECD$ (как вертикальные углы).
   • $\angle ABC = \angle EDC$ (по построению).
   Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC = \triangle EDC$.
8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = ED$.
9. Измеряем расстояние между точками $E$ и $D$, которые обе находятся на нашем берегу. Это и будет искомое расстояние до точки $A$.

Хотя этот второй метод напрямую использует признаки равенства треугольников, он идейно близок к свойству средней линии, так как оба основаны на подобии и параллельности в треугольниках. Конструкция с созданием середины отрезка ($C$ — середина $BD$) является ключевым шагом, роднящим этот метод с темой средней линии.

Ответ: Для определения расстояния $AB$ ($A$ — на нашем берегу, $B$ — на противоположном) можно построить на своем берегу треугольник, где $AB$ будет основанием. Для этого выбирается точка $C$, находится середина $M$ стороны $AC$. Затем измеряется угол $\angle BAC$ и строится прямая $MN \parallel AB$ (откладывая угол $\angle CMN = \angle BAC$). Отрезок $MN$ будет средней линией. Измерив $MN$, находят искомое расстояние по формуле $AB = 2 \cdot MN$. Однако этот метод практически неосуществим. Более надежный практический метод заключается в построении на своем берегу треугольника, равного исходному, через центральную симметрию, как описано во втором варианте. Измерив соответствующую сторону в новом треугольнике, мы найдем искомое расстояние.