Номер 1.110, страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110. Длины проекций двух сторон остроугольного треугольника $ABC$ на сторону $AC$ равны 6 см и 4 см. Найдите длины проекций на сторону $AC$ всех медиан данного треугольника.

Пусть в остроугольном треугольнике $ABC$ из вершины $B$ на сторону $AC$ опущена высота $BH$. Так как треугольник является остроугольным, основание высоты $H$ будет лежать на отрезке $AC$.

Проекцией стороны $AB$ на прямую, содержащую сторону $AC$, является отрезок $AH$. Проекцией стороны $BC$ на эту же прямую является отрезок $CH$. По условию, длины этих проекций равны 6 см и 4 см. Примем $AH = 6$ см и $CH = 4$ см.

Тогда длина стороны $AC$ равна сумме длин этих проекций, так как точка $H$ лежит между $A$ и $C$:$AC = AH + CH = 6 + 4 = 10$ см.

Обозначим медианы треугольника как $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$, где $M_a$, $M_b$ и $M_c$ — это середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Нам необходимо найти длины проекций этих трех медиан на сторону $AC$.

Проекция медианы $BM_b$ на сторону $AC$

Медиана $BM_b$ соединяет вершину $B$ и середину $M_b$ стороны $AC$. Проекцией точки $B$ на прямую $AC$ является точка $H$. Точка $M_b$ уже лежит на прямой $AC$, поэтому ее проекция совпадает с ней самой. Таким образом, проекцией медианы $BM_b$ на сторону $AC$ является отрезок $HM_b$.

Точка $M_b$ — середина стороны $AC$, длина которой 10 см. Следовательно, $AM_b = M_bC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Длину отрезка $HM_b$ можно найти как разность длин отрезков $AH$ и $AM_b$. Точки на прямой расположены в порядке $A-M_b-H-C$ или $A-H-M_b-C$. Так как $AH = 6$ см и $AM_b = 5$ см, то точка $M_b$ находится между $A$ и $H$.

Длина искомой проекции $HM_b$ равна:$|HM_b| = AH - AM_b = 6 - 5 = 1$ см.

Ответ: 1 см.

Проекция медианы $AM_a$ на сторону $AC$

Медиана $AM_a$ соединяет вершину $A$ и середину $M_a$ стороны $BC$. Проекцией точки $A$ на прямую $AC$ является сама точка $A$. Найдем проекцию точки $M_a$ на прямую $AC$, обозначим ее $P_a$. Тогда проекцией всей медианы $AM_a$ будет отрезок $AP_a$.

Согласно свойству проекций, проекция середины отрезка является серединой проекции этого отрезка. Точка $M_a$ — середина $BC$. Проекцией отрезка $BC$ на прямую $AC$ является отрезок $HC$. Следовательно, точка $P_a$ — это середина отрезка $HC$.

Длина отрезка $HC$ равна 4 см, значит, $HP_a = P_aC = \frac{HC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Длина проекции $AP_a$ складывается из длин отрезков $AH$ и $HP_a$:$|AP_a| = AH + HP_a = 6 + 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Проекция медианы $CM_c$ на сторону $AC$

Медиана $CM_c$ соединяет вершину $C$ и середину $M_c$ стороны $AB$. Проекцией точки $C$ на прямую $AC$ является сама точка $C$. Найдем проекцию точки $M_c$ на прямую $AC$, обозначим ее $P_c$. Тогда проекцией медианы $CM_c$ будет отрезок $CP_c$.

Точка $M_c$ — середина $AB$. Проекцией отрезка $AB$ на прямую $AC$ является отрезок $AH$. Следовательно, точка $P_c$ — это середина отрезка $AH$.

Длина отрезка $AH$ равна 6 см, значит, $AP_c = P_cH = \frac{AH}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Длина проекции $CP_c$ складывается из длин отрезков $CH$ и $HP_c$:$|CP_c| = CH + HP_c = 4 + 3 = 7$ см.

Ответ: 7 см.