Номер 1.106, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Две стороны треугольника равны $a$ и $b$. Через середину третьей стороны проведены прямые, параллельные данным сторонам. Найдите периметр полученного четырехугольника (рис. 1.55).

Рис. 1.55

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором, согласно условию, длины сторон $AB = a$ и $BC = b$. Точка $D$ является серединой стороны $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DK$ и $DL$ таким образом, что $K$ лежит на $AB$, $L$ лежит на $BC$, и при этом $DK \parallel BC$ и $DL \parallel AB$. Необходимо найти периметр четырехугольника $KBLD$.

Рассмотрим четырехугольник $KBLD$. По построению, его противолежащие стороны попарно параллельны: $DL \parallel AB$ (и, следовательно, $DL \parallel KB$) и $DK \parallel BC$ (и, следовательно, $DK \parallel BL$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $KBLD$ — это параллелограмм.

Теперь найдем длины сторон этого параллелограмма.

Рассмотрим отрезок $DL$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $D$) и параллелен стороне $AB$. По свойству средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине. Так как $DL \parallel AB$ и $D$ — середина $AC$, то $L$ — середина стороны $BC$, а сам отрезок $DL$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, длина $DL$ равна половине длины стороны $AB$: $DL = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Поскольку $L$ — середина стороны $BC$, то длина отрезка $BL$ равна половине длины стороны $BC$: $BL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.

Аналогично рассмотрим отрезок $DK$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $D$) и параллелен стороне $BC$. Следовательно, $DK$ также является средней линией треугольника $ABC$. Его длина равна половине длины стороны $BC$: $DK = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Также из этого следует, что точка $K$ является серединой стороны $AB$, а значит: $KB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Итак, мы нашли длины всех сторон параллелограмма $KBLD$: $KB = \frac{a}{2}$, $BL = \frac{b}{2}$, $LD = \frac{a}{2}$, $DK = \frac{b}{2}$.

Периметр четырехугольника $P_{KBLD}$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{KBLD} = KB + BL + LD + DK$ Подставим найденные значения: $P_{KBLD} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 2 \cdot (\frac{a}{2}) + 2 \cdot (\frac{b}{2}) = a + b$.

Ответ: $a+b$.