Вопросы, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Что называется средней линией треугольника?

3. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и докажите ее.

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

Формулировка: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Доказательство:

Дано: Стороны угла с вершиной $O$ пересечены параллельными прямыми $a_1$, $a_2$, $a_3$. Прямая $a_1$ пересекает стороны угла в точках $A_1$ и $B_1$, прямая $a_2$ — в точках $A_2$ и $B_2$, прямая $a_3$ — в точках $A_3$ и $B_3$. При этом отрезки на одной стороне равны: $A_1A_2 = A_2A_3$.

Доказать: Отрезки на другой стороне также равны: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $A_2$ прямую $l$, параллельную прямой $OB_3$ (второй стороне угла). Пусть эта прямая $l$ пересекает прямые $a_1$ и $a_3$ в точках $C_1$ и $C_3$ соответственно.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle A_1A_2C_1$ и $\triangle A_3A_2C_3$.
- $A_1A_2 = A_2A_3$ по условию.
- Углы $\angle C_1A_2A_1$ и $\angle C_3A_2A_3$ равны как вертикальные.
- Прямые $a_1$ и $a_3$ параллельны, а прямая $l$ (проходящая через $C_1, A_2, C_3$) является для них секущей. Следовательно, углы $\angle A_1C_1A_2$ и $\angle A_3C_3A_2$ равны как внутренние накрест лежащие.

3. Таким образом, $\triangle A_1A_2C_1 = \triangle A_3A_2C_3$ по стороне и двум углам (AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $A_2C_1 = A_2C_3$.

4. Рассмотрим четырехугольники $A_2C_1B_1B_2$ и $A_2C_3B_3B_2$.
- В четырехугольнике $A_2C_1B_1B_2$ стороны $A_2C_1$ и $B_2B_1$ параллельны (по построению, так как $l \parallel OB_3$). Стороны $C_1B_1$ и $A_2B_2$ также параллельны (по условию, так как $a_1 \parallel a_2$). Следовательно, $A_2C_1B_1B_2$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $A_2C_1 = B_1B_2$.
- Аналогично, в четырехугольнике $A_2C_3B_3B_2$ стороны $A_2C_3$ и $B_2B_3$ параллельны, и стороны $C_3B_3$ и $A_2B_2$ параллельны ($a_3 \parallel a_2$). Следовательно, $A_2C_3B_3B_2$ — параллелограмм. Отсюда $A_2C_3 = B_2B_3$.

5. Так как мы доказали, что $A_2C_1 = A_2C_3$, то из равенств, полученных в п. 4, следует, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Теорема доказана для трех прямых. Доказательство для любого конечного числа параллельных прямых проводится аналогично.

Ответ: Теорема Фалеса гласит, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. Что называется средней линией треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

3. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и докажите ее.

Формулировка: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Дано: Треугольник $\triangle ABC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $N$ — середина стороны $BC$. $MN$ — средняя линия.

Доказать: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Доказательство:

1. Продолжим среднюю линию $MN$ за точку $N$ на ее длину, то есть отложим отрезок $ND = MN$. Соединим точки $D$ и $C$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$.
- $BN = NC$ (так как $N$ — середина $BC$ по условию).
- $MN = ND$ (по построению).
- $\angle MNB = \angle DNC$ (как вертикальные углы).

3. Следовательно, $\triangle MBN = \triangle DCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $MB = DC$ и $\angle MBN = \angle DCN$. Углы $\angle MBN$ и $\angle DCN$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).

5. По условию, $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = MB$. Из равенства $MB=DC$ (доказанного в п. 4) следует, что $AM=DC$.

6. Рассмотрим четырехугольник $AMDC$. В нем стороны $AM$ и $DC$ параллельны (так как $AB \parallel DC$, то и $AM \parallel DC$) и равны ($AM = DC$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $AMDC$ является параллелограммом.

7. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Значит, $MD \parallel AC$ и $MD = AC$.

8. Так как отрезок $MN$ является частью прямой $MD$, то из $MD \parallel AC$ следует, что $MN \parallel AC$. Первая часть теоремы доказана.

9. Также из свойства параллелограмма мы знаем, что $MD = AC$. По нашему построению, $MD = MN + ND$. Так как $ND=MN$, то $MD = MN + MN = 2MN$.

10. Приравнивая два выражения для $MD$, получаем $2MN = AC$, откуда $MN = \frac{1}{2}AC$. Вторая часть теоремы доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (третьей) и равна половине этой стороны.