Страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Что называется средней линией треугольника?

3. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и докажите ее.

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

Формулировка: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.

Доказательство:

Дано: Стороны угла с вершиной $O$ пересечены параллельными прямыми $a_1$, $a_2$, $a_3$. Прямая $a_1$ пересекает стороны угла в точках $A_1$ и $B_1$, прямая $a_2$ — в точках $A_2$ и $B_2$, прямая $a_3$ — в точках $A_3$ и $B_3$. При этом отрезки на одной стороне равны: $A_1A_2 = A_2A_3$.

Доказать: Отрезки на другой стороне также равны: $B_1B_2 = B_2B_3$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $A_2$ прямую $l$, параллельную прямой $OB_3$ (второй стороне угла). Пусть эта прямая $l$ пересекает прямые $a_1$ и $a_3$ в точках $C_1$ и $C_3$ соответственно.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle A_1A_2C_1$ и $\triangle A_3A_2C_3$.
- $A_1A_2 = A_2A_3$ по условию.
- Углы $\angle C_1A_2A_1$ и $\angle C_3A_2A_3$ равны как вертикальные.
- Прямые $a_1$ и $a_3$ параллельны, а прямая $l$ (проходящая через $C_1, A_2, C_3$) является для них секущей. Следовательно, углы $\angle A_1C_1A_2$ и $\angle A_3C_3A_2$ равны как внутренние накрест лежащие.

3. Таким образом, $\triangle A_1A_2C_1 = \triangle A_3A_2C_3$ по стороне и двум углам (AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $A_2C_1 = A_2C_3$.

4. Рассмотрим четырехугольники $A_2C_1B_1B_2$ и $A_2C_3B_3B_2$.
- В четырехугольнике $A_2C_1B_1B_2$ стороны $A_2C_1$ и $B_2B_1$ параллельны (по построению, так как $l \parallel OB_3$). Стороны $C_1B_1$ и $A_2B_2$ также параллельны (по условию, так как $a_1 \parallel a_2$). Следовательно, $A_2C_1B_1B_2$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, $A_2C_1 = B_1B_2$.
- Аналогично, в четырехугольнике $A_2C_3B_3B_2$ стороны $A_2C_3$ и $B_2B_3$ параллельны, и стороны $C_3B_3$ и $A_2B_2$ параллельны ($a_3 \parallel a_2$). Следовательно, $A_2C_3B_3B_2$ — параллелограмм. Отсюда $A_2C_3 = B_2B_3$.

5. Так как мы доказали, что $A_2C_1 = A_2C_3$, то из равенств, полученных в п. 4, следует, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Теорема доказана для трех прямых. Доказательство для любого конечного числа параллельных прямых проводится аналогично.

Ответ: Теорема Фалеса гласит, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2. Что называется средней линией треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

3. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника и докажите ее.

Формулировка: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Дано: Треугольник $\triangle ABC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $N$ — середина стороны $BC$. $MN$ — средняя линия.

Доказать: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Доказательство:

1. Продолжим среднюю линию $MN$ за точку $N$ на ее длину, то есть отложим отрезок $ND = MN$. Соединим точки $D$ и $C$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle MBN$ и $\triangle DCN$.
- $BN = NC$ (так как $N$ — середина $BC$ по условию).
- $MN = ND$ (по построению).
- $\angle MNB = \angle DNC$ (как вертикальные углы).

3. Следовательно, $\triangle MBN = \triangle DCN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $MB = DC$ и $\angle MBN = \angle DCN$. Углы $\angle MBN$ и $\angle DCN$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$).

5. По условию, $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = MB$. Из равенства $MB=DC$ (доказанного в п. 4) следует, что $AM=DC$.

6. Рассмотрим четырехугольник $AMDC$. В нем стороны $AM$ и $DC$ параллельны (так как $AB \parallel DC$, то и $AM \parallel DC$) и равны ($AM = DC$). По признаку параллелограмма, четырехугольник $AMDC$ является параллелограммом.

7. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны и равны. Значит, $MD \parallel AC$ и $MD = AC$.

8. Так как отрезок $MN$ является частью прямой $MD$, то из $MD \parallel AC$ следует, что $MN \parallel AC$. Первая часть теоремы доказана.

9. Также из свойства параллелограмма мы знаем, что $MD = AC$. По нашему построению, $MD = MN + ND$. Так как $ND=MN$, то $MD = MN + MN = 2MN$.

10. Приравнивая два выражения для $MD$, получаем $2MN = AC$, откуда $MN = \frac{1}{2}AC$. Вторая часть теоремы доказана.

Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (третьей) и равна половине этой стороны.

1.103. Какой четырехугольник образуется, если последовательно соединить середины сторон:

1) параллелограмма (рис. 1.53);

2) прямоугольника;

3) ромба;

4) квадрата?

Рис. 1.53

Это утверждение известно как теорема Вариньона, которая гласит, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) параллелограмма

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Необходимо определить вид четырехугольника $KLMN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $CD$ и $DA$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ADC$. Поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ является параллелограммом.

Ответ: параллелограмм.

2) прямоугольника

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, поэтому, согласно предыдущему пункту, четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины его сторон, является параллелограммом.

У прямоугольника есть особое свойство: его диагонали равны, то есть $AC = BD$.

Как мы уже выяснили, $KL = \frac{1}{2}AC$. Рассмотрим теперь треугольник $BCD$. Отрезок $LM$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$, значит, является его средней линией. Следовательно, $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD$.

Поскольку диагонали прямоугольника равны ($AC = BD$), то и длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$ равны: $KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = LM$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

3) ромба

Пусть дан ромб $ABCD$. Ромб также является параллелограммом, поэтому четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм.

Важное свойство ромба заключается в том, что его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Из предыдущих рассуждений мы знаем, что стороны четырехугольника $KLMN$ параллельны диагоналям ромба $ABCD$:
$KL \parallel AC$
$LM \parallel BD$

Если две прямые перпендикулярны, то и любые прямые, параллельные им, также будут перпендикулярны. Так как $AC \perp BD$, то и $KL \perp LM$. Это означает, что угол $\angle KLM$ — прямой.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Ответ: прямоугольник.

4) квадрата

Пусть дан квадрат $ABCD$. Квадрат обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

1. Поскольку квадрат является прямоугольником, то, согласно пункту 2, четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины его сторон, является ромбом (все его стороны равны).

2. Поскольку квадрат является ромбом, то, согласно пункту 3, четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником (все его углы прямые).

Четырехугольник, который одновременно является и ромбом, и прямоугольником, — это квадрат.

Также можно рассуждать через свойства диагоналей квадрата: они и равны, и перпендикулярны.

• Равенство диагоналей ($AC = BD$) приводит к тому, что $KLMN$ — ромб.
• Перпендикулярность диагоналей ($AC \perp BD$) приводит к тому, что $KLMN$ — прямоугольник.

Ответ: квадрат.

1.104. Разделите данный отрезок:

1) на четыре равные части;

2) на пять равных частей.

Для решения этой задачи, которая является классической задачей на построение, используются циркуль и линейка без делений. Общий метод, подходящий для деления отрезка на любое количество равных частей, основан на теореме Фалеса. Также для деления на число частей, равное степени двойки (например, на 4), можно использовать более простой метод последовательного деления отрезка пополам.

1) на четыре равные части

Пусть дан отрезок $AB$. Разделить его на четыре равные части можно двумя основными способами.

Способ 1: Метод последовательного деления пополам

Этот метод является наиболее простым для деления на 2, 4, 8 и т.д. частей.

1. Построим середину отрезка $AB$. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр:
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности с одинаковым радиусом $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$.
   • Через две точки пересечения этих дуг проводим прямую.
2. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ и есть его середина. Обозначим ее $M$. Теперь отрезок $AB$ разделен на две равные части: $AM = MB$.
3. Теперь повторим процедуру для каждого из полученных отрезков. Найдем середину отрезка $AM$ тем же способом и обозначим ее $M_1$.
4. Аналогично найдем середину отрезка $MB$ и обозначим ее $M_2$.
5. В результате точки $M_1$, $M$ и $M_2$ разделят исходный отрезок $AB$ на четыре равные части: $AM_1 = M_1M = MM_2 = M_2B$.

Способ 2: Использование теоремы Фалеса

Этот метод является универсальным и подходит для деления на любое целое число частей.

1. Из конца отрезка, например, из точки $A$, проведем произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. На луче $l$ от точки $A$ отложим с помощью циркуля четыре равных отрезка произвольной длины. Получим точки $C_1, C_2, C_3, C_4$ так, что $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4$.
3. Соединим точку $C_4$ с другим концом исходного отрезка, точкой $B$.
4. Через точки $C_1, C_2, C_3$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_4B$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, D_3$ соответственно.
5. Согласно теореме Фалеса, так как параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки ($AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4$), то они отсекут равные отрезки и на другой стороне угла ($AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B$).

Ответ: Отрезок разделен на четыре равные части путем построения трех точек, которые делят его на четыре равных сегмента.

2) на пять равных частей

Для деления отрезка на 5 равных частей метод последовательного деления пополам не подходит, так как 5 не является степенью двойки. Поэтому необходимо использовать метод, основанный на теореме Фалеса.

Пусть дан отрезок $AB$.

1. Из точки $A$ проведем произвольный луч $l$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На этом луче с помощью циркуля отложим от точки $A$ пять одинаковых отрезков любой удобной длины. Получим последовательность точек $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ таких, что $AC_1 = C_1C_2 = C_2C_3 = C_3C_4 = C_4C_5$.
3. Соединим последнюю точку $C_5$ с точкой $B$ отрезком прямой.
4. Теперь через точки $C_1, C_2, C_3, C_4$ проведем прямые, параллельные отрезку $C_5B$. (Для построения параллельных прямых можно, например, скопировать угол $\angle AC_5B$ в вершины $C_4, C_3, C_2, C_1$ с помощью циркуля и линейки).
5. Эти прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, D_3, D_4$.
6. По теореме Фалеса, отрезки, на которые точки $D_1, D_2, D_3, D_4$ разделили отрезок $AB$, будут равны между собой. То есть, $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3D_4 = D_4B$.

Ответ: Отрезок разделен на пять равных частей путем построения четырех точек, которые делят его на пять равных сегментов.

1.105. Разделите данный отрезок на две части так, чтобы они относились как:

1) $1 : 2$ (рис. 1.54);

2) $2 : 3$.

Рис. 1.54

Для решения этой задачи используется теорема Фалеса о пропорциональных отрезках. Общий метод заключается в построении вспомогательного луча, на котором откладываются равные отрезки в количестве, равном сумме членов отношения, и проведении параллельных прямых.

1)

Чтобы разделить данный отрезок AB на две части в отношении 1:2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Из точки A данного отрезка AB провести произвольный луч AK, не лежащий на прямой AB.
2. На луче AK отложить от точки A последовательно $1 + 2 = 3$ равных между собой отрезка произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1$, $P_2$, $P_3$. Таким образом, мы получим $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
3. Соединить точку $P_3$ (конец последнего отрезка) с точкой B.
4. Через точку $P_1$ (соответствующую первому числу в отношении 1:2) провести прямую, параллельную отрезку $P_3B$. Эта прямая пересечет отрезок AB в некоторой точке C.

Полученная точка C является искомой точкой, которая делит отрезок AB в отношении 1:2.

Доказательство: Рассмотрим $\triangle AP_3B$. Прямая $CP_1$ параллельна стороне $P_3B$ (по построению) и пересекает две другие стороны треугольника $AB$ и $AP_3$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса) имеем:

$\frac{AC}{CB} = \frac{AP_1}{P_1P_3}$

По построению, отрезок $AP_1$ равен одному единичному отрезку, а отрезок $P_1P_3$ состоит из двух таких же единичных отрезков ($P_1P_3 = P_1P_2 + P_2P_3$). Следовательно, их отношение равно:

$\frac{AP_1}{P_1P_3} = \frac{1}{2}$

Таким образом, $\frac{AC}{CB} = \frac{1}{2}$, то есть $AC:CB = 1:2$. Точка C делит отрезок AB в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка C, построенная указанным методом, делит отрезок AB в отношении $AC:CB = 1:2$.

2)

Чтобы разделить данный отрезок AB на две части в отношении 2:3, нужно выполнить аналогичные действия:

1. Из точки A данного отрезка AB провести произвольный луч AK, не лежащий на прямой AB.
2. На луче AK отложить от точки A последовательно $2 + 3 = 5$ равных между собой отрезков. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$. Таким образом, $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$.
3. Соединить точку $P_5$ (конец последнего отрезка) с точкой B.
4. Через точку $P_2$ (соответствующую первому числу в отношении 2:3) провести прямую, параллельную отрезку $P_5B$. Эта прямая пересечет отрезок AB в некоторой точке D.

Полученная точка D является искомой точкой, которая делит отрезок AB в отношении 2:3.

Доказательство: Рассмотрим $\triangle AP_5B$. Прямая $DP_2$ параллельна стороне $P_5B$ (по построению) и пересекает две другие стороны треугольника $AB$ и $AP_5$. По теореме о пропорциональных отрезках:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AP_2}{P_2P_5}$

По построению, отрезок $AP_2$ состоит из двух единичных отрезков ($AP_2 = AP_1 + P_1P_2$), а отрезок $P_2P_5$ состоит из трех таких же единичных отрезков ($P_2P_5 = P_2P_3 + P_3P_4 + P_4P_5$). Следовательно, их отношение равно:

$\frac{AP_2}{P_2P_5} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}$, то есть $AD:DB = 2:3$. Точка D делит отрезок AB в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка D, построенная указанным методом, делит отрезок AB в отношении $AD:DB = 2:3$.

1.106. Две стороны треугольника равны $a$ и $b$. Через середину третьей стороны проведены прямые, параллельные данным сторонам. Найдите периметр полученного четырехугольника (рис. 1.55).

Рис. 1.55

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором, согласно условию, длины сторон $AB = a$ и $BC = b$. Точка $D$ является серединой стороны $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DK$ и $DL$ таким образом, что $K$ лежит на $AB$, $L$ лежит на $BC$, и при этом $DK \parallel BC$ и $DL \parallel AB$. Необходимо найти периметр четырехугольника $KBLD$.

Рассмотрим четырехугольник $KBLD$. По построению, его противолежащие стороны попарно параллельны: $DL \parallel AB$ (и, следовательно, $DL \parallel KB$) и $DK \parallel BC$ (и, следовательно, $DK \parallel BL$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $KBLD$ — это параллелограмм.

Теперь найдем длины сторон этого параллелограмма.

Рассмотрим отрезок $DL$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $D$) и параллелен стороне $AB$. По свойству средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине. Так как $DL \parallel AB$ и $D$ — середина $AC$, то $L$ — середина стороны $BC$, а сам отрезок $DL$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, длина $DL$ равна половине длины стороны $AB$: $DL = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Поскольку $L$ — середина стороны $BC$, то длина отрезка $BL$ равна половине длины стороны $BC$: $BL = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.

Аналогично рассмотрим отрезок $DK$. Он проходит через середину стороны $AC$ (точку $D$) и параллелен стороне $BC$. Следовательно, $DK$ также является средней линией треугольника $ABC$. Его длина равна половине длины стороны $BC$: $DK = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$. Также из этого следует, что точка $K$ является серединой стороны $AB$, а значит: $KB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Итак, мы нашли длины всех сторон параллелограмма $KBLD$: $KB = \frac{a}{2}$, $BL = \frac{b}{2}$, $LD = \frac{a}{2}$, $DK = \frac{b}{2}$.

Периметр четырехугольника $P_{KBLD}$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{KBLD} = KB + BL + LD + DK$ Подставим найденные значения: $P_{KBLD} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = 2 \cdot (\frac{a}{2}) + 2 \cdot (\frac{b}{2}) = a + b$.

Ответ: $a+b$.

1.107. Периметр треугольника равен $p$.

Найдите периметр треугольника, вершинами

которого служат середины сторон данного

треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, его периметр равен $p$. Периметр — это сумма длин всех сторон, следовательно:

$p = a + b + c$

Рассмотрим новый треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника. Стороны этого нового треугольника будут являться средними линиями исходного треугольника.

По теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Это означает, что длины сторон нового треугольника будут равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$.

Периметр нового треугольника, обозначим его $P_{нов}$, равен сумме длин его сторон:

$P_{нов} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$P_{нов} = \frac{1}{2} (a + b + c)$

Мы знаем, что сумма $a + b + c$ равна периметру исходного треугольника $p$. Подставим это значение в выражение для $P_{нов}$:

$P_{нов} = \frac{1}{2} p = \frac{p}{2}$

Таким образом, периметр треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника, равен половине периметра исходного треугольника.

Ответ: $\frac{p}{2}$