Страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите его стороны.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a — большая сторона, а b — меньшая сторона.

Точка пересечения диагоналей в прямоугольнике является его центром и равноудалена от противоположных сторон. Расстояние от этой точки до большей стороны (длиной a) равно половине длины меньшей стороны, то есть $b/2$. Соответственно, расстояние до меньшей стороны (длиной b) равно половине длины большей стороны, то есть $a/2$.

Согласно условию, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 4 см больше, чем до большей стороны. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{a}{2} = \frac{b}{2} + 4$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$a = b + 8$

Также нам известен периметр прямоугольника, который равен 56 см. Формула периметра: $P = 2(a+b)$. Составим второе уравнение:

$2(a+b) = 56$

Разделим обе части на 2:

$a+b = 28$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} a = b + 8 \\ a + b = 28 \end{cases} $

Подставим выражение для a из первого уравнения во второе:

$(b+8) + b = 28$

$2b + 8 = 28$

$2b = 28 - 8$

$2b = 20$

$b = 10$ (см)

Теперь, зная значение b, найдем a:

$a = b + 8 = 10 + 8 = 18$ (см)

Таким образом, стороны прямоугольника равны 10 см и 18 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 18 см.

слинника равен 30 см. Найдите его стороны.

1.65. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб, у которого все стороны равны $a$. По условию задачи, одна из его диагоналей также равна $a$.

Эта диагональ делит ромб на два треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников. Две его стороны являются сторонами ромба, а третья сторона — это диагональ. Таким образом, все три стороны этого треугольника равны $a$.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Один из этих углов является углом ромба. Следовательно, один из углов ромба равен $60^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, значит, в ромбе есть два угла по $60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Пусть один угол равен $\alpha = 60^\circ$, а другой — $\beta$. Тогда: $\alpha + \beta = 180^\circ$ $60^\circ + \beta = 180^\circ$ $\beta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Следовательно, два других угла ромба равны $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

1.66. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что треугольники $AOD$ и $AOB$ равнобедренные.

б) Найдите периметр треугольника $AOB$, если $\angle CAD=30^\circ$, $AC=12$ см (рис. 1.35).

Рис. 1.35

а)

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Диагонали равны: $AC = BD$.

2. Диагонали делятся точкой пересечения $O$ пополам: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из этих двух свойств следует, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. В нем стороны $AO$ и $OD$ равны ($AO = OD$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем стороны $AO$ и $BO$ равны ($AO = BO$). Следовательно, треугольник $AOB$ также является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники $AOD$ и $AOB$ являются равнобедренными, так как их боковые стороны являются половинами равных диагоналей прямоугольника.

б)

Для нахождения периметра треугольника $AOB$ нужно найти длины его сторон: $AO$, $BO$ и $AB$.

1. Известно, что диагональ $AC = 12$ см. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $AO = \frac{1}{2}AC$.
$AO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Как мы доказали в пункте а), треугольник $AOB$ является равнобедренным, где $AO = BO$.
Следовательно, $BO = 6$ см.

3. Найдем сторону $AB$. Угол $A$ прямоугольника $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $\angle DAB = 90^\circ$.
Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAB$ и $\angle CAD$.
По условию, $\angle CAD = 30^\circ$.
Тогда $\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

4. В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.
Так как $\angle OAB$ это то же самое, что и $\angle CAB$, то $\angle OAB = 60^\circ$.
Следовательно, $\angle OBA = 60^\circ$.

5. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

6. Поскольку все три угла треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, он является не просто равнобедренным, а равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.
$AB = AO = BO = 6$ см.

7. Теперь найдем периметр треугольника $AOB$, который равен сумме длин его сторон:
$P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

1.67. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, отсекает от этого треугольника равносторонний треугольник. Найдите острые углы данного треугольника.

Рис. 1.35

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$.

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, $CM = \frac{1}{2}AB$.

Так как $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из этих двух утверждений следует, что $CM = AM = MB$.

Медиана $CM$ делит треугольник $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

По условию задачи, один из этих треугольников является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Треугольник $\triangle AMC$ является равносторонним.

В этом случае все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол $\angle CAM$ равен $60^\circ$. Угол $\angle CAM$ — это один из острых углов исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть $\angle A = 60^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ имеем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$60^\circ + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника равны $60^\circ$ и $30^\circ$.

2. Треугольник $\triangle BMC$ является равносторонним.

В этом случае все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол $\angle CBM$ равен $60^\circ$. Угол $\angle CBM$ — это второй острый угол исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть $\angle B = 60^\circ$.

Найдем другой острый угол $\angle A$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

В этом случае острые углы треугольника также равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же результат.

Ответ: острые углы данного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

1.68. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите длины хорд.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $A$ — точка на окружности, из которой проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $AC$. Это означает, что угол $\angle BAC = 90^\circ$.

Расстояние от центра окружности до хорды определяется длиной перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Обозначим через $M$ и $N$ основания этих перпендикуляров, опущенных из центра $O$ на хорды $AB$ и $AC$ соответственно. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp AC$. По условию задачи, эти расстояния равны 6 см и 10 см. Пусть $ON = 6$ см, а $OM = 10$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AMON$. В этом четырехугольнике нам известны три угла: $\angle MAN = \angle BAC = 90^\circ$ (так как хорды перпендикулярны), $\angle OMA = 90^\circ$ (по построению, так как $OM$ — расстояние до хорды $AB$), и $\angle ONA = 90^\circ$ (по построению, так как $ON$ — расстояние до хорды $AC$). Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, следовательно, четвертый угол $\angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку все углы четырехугольника $AMON$ прямые, он является прямоугольником.

Основное свойство прямоугольника заключается в том, что его противоположные стороны равны. Отсюда следует, что $AM = ON$ и $AN = OM$. Подставляя известные значения расстояний, получаем длины отрезков $AM$ и $AN$:
$AM = ON = 6$ см
$AN = OM = 10$ см

По свойству хорд в окружности, перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее на две равные части. То есть, $M$ — середина хорды $AB$, а $N$ — середина хорды $AC$. Следовательно, длины хорд можно найти, удвоив длины отрезков $AM$ и $AN$:
Длина хорды $AB = 2 \times AM = 2 \times 6 = 12$ см.
Длина хорды $AC = 2 \times AN = 2 \times 10 = 20$ см.

Ответ: длины хорд равны 12 см и 20 см.

1.69. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника (рис. 1.36).

Рис. 1.36

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию задачи, его катеты равны $AC = BC = 6$ см. Так как катеты равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы при гипотенузе равны и составляют $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $CDEF$, который имеет с ним общий прямой угол $C$. Это означает, что вершина $D$ лежит на катете $AC$, вершина $F$ — на катете $BC$, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим длины сторон прямоугольника: $CF = x$ и $CD = y$. Периметр прямоугольника $P_{CDEF}$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

Рассмотрим треугольник $EFB$. Так как $CDEF$ является прямоугольником, его сторона $EF$ параллельна стороне $CD$, а значит, и катету $AC$. Поскольку $AC \perp BC$, то и $EF \perp BC$. Следовательно, $\triangle EFB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle EFB = 90^\circ$.

Угол $\angle B$ у треугольников $ABC$ и $EFB$ общий, поэтому $\angle FBE = \angle ABC = 45^\circ$.

Поскольку $\triangle EFB$ — прямоугольный с острым углом $45^\circ$, он является равнобедренным, и его катеты равны: $EF = FB$.

Длина стороны $EF$ прямоугольника равна длине его противолежащей стороны $CD$, то есть $EF = CD = y$.

Длину отрезка $FB$ можно выразить через длину катета $BC$ и отрезка $CF$: $FB = BC - CF = 6 - x$.

Так как $EF = FB$, мы можем приравнять полученные выражения: $y = 6 - x$

Из этого уравнения следует, что сумма длин смежных сторон прямоугольника равна: $x + y = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр прямоугольника $CDEF$: $P = 2(x + y) = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

1.70. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Стороны прямоугольника относятся как $5 : 2$, а гипотенуза треугольника равна 45 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB = 45$ см. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его углы при гипотенузе равны: $\angle A = \angle B = 45^{\circ}$.

В этот треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Стороны прямоугольника $KLMN$ относятся как $5:2$. Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Пусть $a:b = 5:2$, тогда можно записать стороны как $a = 5x$ и $b = 2x$ для некоторого коэффициента $x$.

Задача не уточняет, какая из сторон прямоугольника (большая или меньшая) лежит на гипотенузе. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Большая сторона прямоугольника лежит на гипотенузе.

В этом случае длина стороны, лежащей на гипотенузе, равна $5x$, а высота прямоугольника равна $2x$. То есть, $KL = 5x$ и $NK = ML = 2x$.

Рассмотрим маленький треугольник $ANK$, который образуется в углу $A$ большого треугольника. В этом треугольнике:

• $\angle NKA = 90^{\circ}$ (так как $NK$ — сторона прямоугольника, а $KL$ лежит на $AB$).
• $\angle NAK = \angle A = 45^{\circ}$ (по условию).

Следовательно, третий угол $\angle ANK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Это значит, что треугольник $ANK$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: $AK = NK$.

Так как $NK = 2x$, то и $AK = 2x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BML$ в углу $B$. Он также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $BL = ML$.

Так как $ML = 2x$, то и $BL = 2x$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Мы можем записать:

$AB = AK + KL + LB$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$45 = 2x + 5x + 2x$

$45 = 9x$

$x = \frac{45}{9} = 5$

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Большая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Меньшая сторона: $b = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 25 см и 10 см.

Случай 2: Меньшая сторона прямоугольника лежит на гипотенузе.

В этом случае длина стороны, лежащей на гипотенузе, равна $2x$, а высота прямоугольника равна $5x$. То есть, $KL = 2x$ и $NK = ML = 5x$.

Как и в первом случае, треугольники $ANK$ и $BML$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В треугольнике $ANK$ катеты равны: $AK = NK$. Так как $NK = 5x$, то и $AK = 5x$.

В треугольнике $BML$ катеты равны: $BL = ML$. Так как $ML = 5x$, то и $BL = 5x$.

Снова используем равенство для гипотенузы $AB$:

$AB = AK + KL + LB$

Подставим новые выражения для отрезков:

$45 = 5x + 2x + 5x$

$45 = 12x$

$x = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3,75$

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Большая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 3,75 = 18,75$ см.

Меньшая сторона: $b = 2x = 2 \cdot 3,75 = 7,5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18,75 см и 7,5 см.

1.71. В параллелограмме $ABCD$ $AD > AB$. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $L$. Докажите, что четырехугольник $ABKL$ является ромбом (рис. 1.37).

Для доказательства того, что четырехугольник ABKL является ромбом, необходимо показать, что он является параллелограммом, у которого все стороны равны.

1. Докажем, что $AB = AL$.

По условию, ABCD — параллелограмм, следовательно, его противолежащие стороны параллельны: $AD \parallel BC$.

Рассмотрим биссектрису BL угла B.

• По определению биссектрисы: $\angle ABL = \angle LBC$.
• Углы $\angle LBC$ и $\angle ALB$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей BL. Следовательно, $\angle LBC = \angle ALB$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle ABL = \angle ALB$.

Это означает, что треугольник ABL является равнобедренным с основанием BL. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = AL$.

2. Докажем, что $AB = BK$.

Рассмотрим биссектрису AK угла A.

• По определению биссектрисы: $\angle BAK = \angle KAD$.
• Углы $\angle KAD$ и $\angle BKA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AK. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Это означает, что треугольник ABK является равнобедренным с основанием AK. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

3. Докажем, что ABKL — ромб.

Из пунктов 1 и 2 мы получили, что $AL = AB$ и $BK = AB$. Отсюда следует, что $AL = BK$.

Рассмотрим четырехугольник ABKL. У него стороны $AL$ и $BK$ лежат на параллельных прямых ($AD \parallel BC$), значит, $AL \parallel BK$. Кроме того, мы доказали, что длины этих сторон равны ($AL = BK$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, ABKL — параллелограмм.

В параллелограмме ABKL смежные стороны $AB$ и $AL$ равны ($AB = AL$, как доказано в пункте 1). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Следовательно, четырехугольник ABKL является ромбом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В результате последовательных шагов было установлено, что ABKL является параллелограммом с равными смежными сторонами, что по определению делает его ромбом.

1.72. Через точку пересечения диагоналей ромба к его сторонам проведены перпендикуляры. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ опущены перпендикуляры на стороны ромба: $OM$ на $AB$, $ON$ на $BC$, $OP$ на $CD$ и $OQ$ на $DA$. Образовался четырехугольник $MNPQ$. Требуется доказать, что $MNPQ$ — прямоугольник.

Доказательство

Для доказательства того, что четырехугольник $MNPQ$ является прямоугольником, мы установим, что он является параллелограммом, диагонали которого равны.

Сначала докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм. Для этого покажем, что его диагонали $MP$ и $NQ$ пересекаются в своей середине. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCP$. В них сторона $OA = OC$, так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Угол $\angle OAM = \angle OCP$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\triangle OAM \cong \triangle OCP$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $OM = OP$. Так как $OM \perp AB$ и $OP \perp CD$, а стороны $AB$ и $CD$ параллельны, то точки $M$, $O$, $P$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $O$ — середина отрезка $MP$.

Аналогично, рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle OBN$ и $\triangle ODQ$, мы видим, что $OB = OD$ (по свойству диагоналей ромба) и $\angle OBN = \angle ODQ$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). Таким образом, $\triangle OBN \cong \triangle ODQ$ по гипотенузе и острому углу, откуда следует, что $ON = OQ$. Точки $N, O, Q$ лежат на одной прямой, и точка $O$ является серединой отрезка $NQ$.

Поскольку диагонали четырехугольника $MNPQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, $MNPQ$ является параллелограммом по признаку.

Теперь докажем, что диагонали этого параллелограмма равны, то есть $MP = NQ$. Так как $MP = 2 \cdot OM$ и $NQ = 2 \cdot ON$, нам достаточно доказать, что $OM = ON$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle ONB$. У них общая гипотенуза $OB$, а острые углы $\angle MBO$ и $\angle NBO$ равны, поскольку диагональ $BD$ ромба является биссектрисой угла $\angle ABC$. Следовательно, $\triangle OMB \cong \triangle ONB$ по гипотенузе и острому углу. Из этого равенства получаем, что $OM = ON$.

Таким образом, мы установили, что $MNPQ$ — это параллелограмм, и его диагонали равны ($MP = 2 \cdot OM = 2 \cdot ON = NQ$). Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки пересечения перпендикуляров, проведенных из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, действительно являются вершинами прямоугольника.

1.73. Углы, образуемые диагоналями ромба с его стороной, относятся как $4 : 5$. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб. Его диагонали пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба, а катетами — половины его диагоналей.

Углы, образуемые диагоналями со стороной ромба, являются острыми углами одного из этих прямоугольных треугольников. Обозначим эти углы как $\alpha$ и $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$.

$\alpha + \beta = 90^\circ$

По условию задачи, эти углы относятся как $4:5$. Мы можем выразить их через общую переменную $x$: пусть $\alpha = 4x$ и $\beta = 5x$.

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы углов и решим его:

$4x + 5x = 90^\circ$

$9x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{9}$

$x = 10^\circ$

Теперь найдем величины углов $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$

$\beta = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его внутренних углов. Это значит, что углы ромба вдвое больше найденных нами углов $\alpha$ и $\beta$.

Один из углов ромба равен $2\alpha$, а смежный с ним угол равен $2\beta$.

Первый угол ромба: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Второй угол ромба: $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, у него есть два угла по $80^\circ$ и два угла по $100^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.