Номер 1.67, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, отсекает от этого треугольника равносторонний треугольник. Найдите острые углы данного треугольника.

Рис. 1.35

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$.

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, $CM = \frac{1}{2}AB$.

Так как $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из этих двух утверждений следует, что $CM = AM = MB$.

Медиана $CM$ делит треугольник $\triangle ABC$ на два треугольника: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

По условию задачи, один из этих треугольников является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Треугольник $\triangle AMC$ является равносторонним.

В этом случае все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол $\angle CAM$ равен $60^\circ$. Угол $\angle CAM$ — это один из острых углов исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть $\angle A = 60^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ имеем:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$60^\circ + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Таким образом, острые углы треугольника равны $60^\circ$ и $30^\circ$.

2. Треугольник $\triangle BMC$ является равносторонним.

В этом случае все его углы равны $60^\circ$. В частности, угол $\angle CBM$ равен $60^\circ$. Угол $\angle CBM$ — это второй острый угол исходного треугольника $\triangle ABC$, то есть $\angle B = 60^\circ$.

Найдем другой острый угол $\angle A$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

В этом случае острые углы треугольника также равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

В обоих случаях мы получаем один и тот же результат.

Ответ: острые углы данного треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.