Номер 1.60, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. Всегда ли четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом?

Нет, не всегда.

Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы все его четыре стороны были равны. Свойство перпендикулярности диагоналей является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был ромбом. Это означает, что у любого ромба диагонали действительно перпендикулярны, но обратное утверждение — что любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями является ромбом — неверно.

Чтобы доказать это, рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом ($AC \perp BD$). Это означает, что диагонали разбивают четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Используя теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, мы можем выразить квадраты длин сторон четырехугольника:

• $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• $AD^2 = DO^2 + AO^2$

По определению, четырехугольник $ABCD$ является ромбом, если все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$. Это эквивалентно равенству квадратов их длин: $AB^2 = BC^2 = CD^2 = AD^2$.

Сравним квадраты длин соседних сторон:

Чтобы $AB = BC$, должно выполняться $AB^2 = BC^2$, то есть $AO^2 + BO^2 = BO^2 + CO^2$, что упрощается до $AO^2 = CO^2$ или $AO = CO$.

Чтобы $BC = CD$, должно выполняться $BC^2 = CD^2$, то есть $BO^2 + CO^2 = CO^2 + DO^2$, что упрощается до $BO^2 = DO^2$ или $BO = DO$.

Таким образом, для того чтобы все стороны четырехугольника с перпендикулярными диагоналями были равны, необходимо, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам ($AO = CO$ и $BO = DO$).

В условии задачи дано только, что диагонали перпендикулярны. Если при этом они не делят друг друга пополам, то стороны четырехугольника не будут равны.

Контрпример:

Простейшим примером четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, который не является ромбом, служит дельтоид (кайт). У дельтоида, который не является ромбом, диагонали перпендикулярны, но равны только пары смежных сторон, а не все четыре. Например, рассмотрим четырехугольник с вершинами в точках $A(0, 4)$, $B(-2, 0)$, $C(0, -3)$, $D(2, 0)$. Его диагональ $AC$ лежит на оси $OY$, а диагональ $BD$ — на оси $OX$. Они пересекаются в начале координат и перпендикулярны. Однако длины его сторон различны:

$AB = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

$BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

Поскольку $AB \neq BC$, этот четырехугольник не является ромбом.

Ответ: Нет, не всегда. Четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом только в том случае, если его диагонали также и точкой пересечения делятся пополам. В общем случае такой четырехугольник (ортодиагональный четырехугольник) не обязан быть ромбом, примером чего служит дельтоид.