Номер 1.54, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Постройте четырехугольник, диагонали которого равны, но он не является прямоугольником.

Искомым четырехугольником, диагонали которого равны, но который не является прямоугольником, является равнобокая (или равнобедренная) трапеция.

Равнобокая трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые) равны по длине. У любой равнобокой трапеции диагонали равны. Докажем это.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В этих треугольниках:

• сторона $AD$ — общая;
• стороны $AB = DC$ по определению равнобокой трапеции;
• углы $\angle BAD = \angle CDA$ как углы при основании равнобокой трапеции.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Из равенства треугольников вытекает равенство их соответствующих сторон, а именно диагоналей: $BD = AC$.

В то же время, если основания трапеции не равны ($AD \neq BC$), то ее углы не являются прямыми, а значит, она не является прямоугольником. Прямоугольник является лишь частным случаем равнобокой трапеции, у которой основания равны.

Для построения такой фигуры можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить отрезок $AD$ — будущее нижнее основание трапеции.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
3. На этом перпендикуляре выбрать точку $N$ и провести через нее прямую $l$, параллельную $AD$.
4. На прямой $l$ отложить от точки $N$ влево и вправо равные отрезки, чтобы получить точки $B$ и $C$. Длину этих отрезков нужно выбрать так, чтобы итоговый отрезок $BC$ не был равен $AD$.
5. Соединить последовательно вершины $A, B, C, D$.

Полученная фигура $ABCD$ является равнобокой трапецией. По построению она симметрична относительно серединного перпендикуляра к основаниям, поэтому ее боковые стороны и диагонали равны. Так как $AD \neq BC$, она не является прямоугольником.

На рисунке показана равнобокая трапеция $ABCD$ с равными диагоналями $AC$ и $BD$. Так как ее углы не прямые, она не является прямоугольником.

Ответ: Искомой фигурой является любая равнобокая трапеция, которая не является прямоугольником.