Номер 1.51, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.51. Докажите, что:

а) четырехугольник, полученный при пересечении биссектрис углов параллелограмма, является параллелограммом;

б) все углы в таком четырехугольнике прямые.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы его углов $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ при пересечении образуют четырехугольник $PQRS$. Пусть $P$ — точка пересечения биссектрис углов $\angle A$ и $\angle D$, $Q$ — углов $\angle A$ и $\angle B$, $R$ — углов $\angle B$ и $\angle C$, $S$ — углов $\angle C$ и $\angle D$.

а) Докажите, что четырехугольник, полученный при пересечении биссектрис углов параллелограмма, является параллелограммом

Для доказательства того, что $PQRS$ является параллелограммом, достаточно доказать, что его противолежащие стороны попарно параллельны, то есть $PQ \parallel SR$ и $PS \parallel QR$.

1. Докажем, что $PS \parallel QR$.

Сторона $PS$ лежит на биссектрисе угла $\angle D$, а сторона $QR$ — на биссектрисе угла $\angle B$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны ($AD \parallel BC$) и противолежащие углы равны ($\angle B = \angle D$).

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую — биссектрису угла $\angle B$. Пусть она пересекает сторону $AD$ в точке $K$. Углы $\angle AKB$ и $\angle KBC$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны. Так как $BK$ — биссектриса, то $\angle KBC = \frac{\angle B}{2}$. Значит, $\angle AKB = \frac{\angle B}{2}$.

Теперь рассмотрим биссектрису угла $\angle D$. Она образует со стороной $AD$ угол, равный $\frac{\angle D}{2}$.

Поскольку $\angle B = \angle D$, то и $\frac{\angle B}{2} = \frac{\angle D}{2}$.

Таким образом, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle D$ образуют с прямой $AD$ равные углы ($\angle AKB$ и $\angle(l_D, AD)$). Следовательно, эти биссектрисы параллельны, а значит, параллельны и отрезки $PS$ и $QR$, лежащие на них.

2. Докажем, что $PQ \parallel SR$.

Сторона $PQ$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, а сторона $SR$ — на биссектрисе угла $\angle C$. В параллелограмме $AB \parallel DC$ и $\angle A = \angle C$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую — биссектрису угла $\angle A$. Пусть она пересекает сторону $DC$ в точке $E$. Углы $\angle BAE$ и $\angle AED$ являются накрест лежащими, следовательно, $\angle AED = \angle BAE = \frac{\angle A}{2}$.

Биссектриса угла $\angle C$ образует со стороной $DC$ угол, равный $\frac{\angle C}{2}$.

Так как $\angle A = \angle C$, то и $\frac{\angle A}{2} = \frac{\angle C}{2}$.

Биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle C$ образуют с прямой $DC$ равные углы, значит, они параллельны. Следовательно, $PQ \parallel SR$.

Поскольку противолежащие стороны четырехугольника $PQRS$ попарно параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажите, что все углы в таком четырехугольнике прямые

Рассмотрим угол четырехугольника $PQRS$ при вершине $P$. Этот угол является углом $\angle APD$ в треугольнике $\triangle APD$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA)$.

Так как $AP$ и $DP$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle D$ параллелограмма $ABCD$, то:

$\angle PAD = \frac{\angle A}{2}$

$\angle PDA = \frac{\angle D}{2}$

Следовательно, $\angle APD = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle D}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle D}{2}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

Подставим это значение в выражение для угла $\angle APD$:

$\angle APD = 180^\circ - \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Итак, один из углов параллелограмма $PQRS$, угол $\angle SPQ$, равен $90^\circ$.

Поскольку $PQRS$ — параллелограмм (доказано в пункте а), его свойства гласят:

• противоположные углы равны: $\angle QRS = \angle SPQ = 90^\circ$;
• сумма соседних углов равна $180^\circ$: $\angle PQR = 180^\circ - \angle SPQ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, и $\angle PSR = 180^\circ - \angle SPQ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, все углы четырехугольника $PQRS$ являются прямыми.

Ответ: Утверждение доказано.