Номер 1.48, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Периметр параллелограмма равен 50 см. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, разность периметров двух из них равна 5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, $P = 50$ см, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$2(a + b) = 50$

$a + b = 25$

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке $O$ и делят друг друга пополам. Они делят параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, например, $AOB$ и $BOC$, где $AB = a$ и $BC = b$.

Стороны этих треугольников:

• Треугольник $AOB$ имеет стороны $AB$, $AO$ и $BO$. Его периметр $P_{AOB} = a + AO + BO$.
• Треугольник $BOC$ имеет стороны $BC$, $BO$ и $CO$. Его периметр $P_{BOC} = b + BO + CO$.

Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $AO = CO$.

Найдем разность периметров этих двух треугольников:

Разность периметров двух смежных треугольников $P_{BOC} - P_{AOB}$ равна:

$(b + BO + CO) - (a + AO + BO)$

Поскольку $AO = CO$, мы можем упростить выражение:

$b + BO + AO - a - AO - BO = b - a$

Таким образом, разность периметров двух смежных треугольников, образованных диагоналями, равна разности длин смежных сторон параллелограмма. По условию, эта разность равна 5 см. Получаем второе уравнение:

$b - a = 5$ (будем считать, что $b$ — большая сторона)

Решим систему из двух уравнений:

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 25 \\ b - a = 5 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $b$:

$(a + b) + (b - a) = 25 + 5$

$2b = 30$

$b = 15$ см

Теперь подставим значение $b$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a + 15 = 25$

$a = 25 - 15$

$a = 10$ см

Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см.