Номер 1.46, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Постройте параллелограмм по стороне и двум диагоналям.

Для построения параллелограмма по заданной стороне $a$ и двум диагоналям $d_1$ и $d_2$ используется ключевое свойство диагоналей параллелограмма: в точке пересечения они делятся пополам. Это позволяет свести задачу к построению треугольника по трем известным сторонам.

Предположим, что искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Пусть сторона $AB$ равна заданной длине $a$, а диагонали $AC$ и $BD$ равны $d_1$ и $d_2$ соответственно. Обозначим точку пересечения диагоналей буквой $O$.

Согласно свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой каждой из них. Это означает, что $AO = OC = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = OD = \frac{1}{2}d_2$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Длины всех его сторон нам известны: $AB = a$ (по условию), $AO = \frac{1}{2}d_1$ и $BO = \frac{1}{2}d_2$. Построив этот треугольник, мы определим положение вершин $A$ и $B$, а также центра параллелограмма $O$.

Зная положение точек $A$, $B$ и $O$, мы можем однозначно найти остальные вершины. Вершина $C$ является точкой, симметричной вершине $A$ относительно точки $O$. Аналогично, вершина $D$ симметрична вершине $B$ относительно точки $O$. Таким образом, для нахождения вершины $C$ нужно продлить отрезок $AO$ за точку $O$ на его же длину, а для нахождения $D$ — продлить отрезок $BO$ за точку $O$ на его длину.

Следовательно, вся задача сводится к построению треугольника $AOB$ по трем сторонам: $a$, $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$.

1. С помощью циркуля и линейки находим середины отрезков, представляющих диагонали $d_1$ и $d_2$. Так мы получаем отрезки с длинами $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$.
2. Проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$. С помощью циркуля откладываем от точки $A$ отрезок $AB$, равный заданной стороне $a$.
3. Из центра в точке $A$ проводим дугу окружности с радиусом, равным $\frac{1}{2}d_1$.
4. Из центра в точке $B$ проводим дугу окружности с радиусом, равным $\frac{1}{2}d_2$.
5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $O$. Соединяем точки $A$, $O$ и $B$ для получения треугольника $AOB$.
6. Проводим прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OC$, равный отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.
7. Проводим прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.
8. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Также по построению $AO = OC$ и $BO = OD$. Поскольку диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то по одному из признаков параллелограмма четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Проверим соответствие длин его элементов заданным условиям. Сторона $AB$ равна $a$ по построению. Длина диагонали $AC$ равна $AO + OC = \frac{1}{2}d_1 + \frac{1}{2}d_1 = d_1$. Длина диагонали $BD$ равна $BO + OD = \frac{1}{2}d_2 + \frac{1}{2}d_2 = d_2$.

Следовательно, построенный параллелограмм $ABCD$ полностью удовлетворяет условиям задачи.

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построение треугольника $AOB$ со сторонами $a$, $\frac{1}{2}d_1$ и $\frac{1}{2}d_2$. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника для длин этих сторон:

• $a + \frac{1}{2}d_1 > \frac{1}{2}d_2$
• $a + \frac{1}{2}d_2 > \frac{1}{2}d_1$
• $\frac{1}{2}d_1 + \frac{1}{2}d_2 > a$, что равносильно $d_1 + d_2 > 2a$.

Если эти условия соблюдены, дуги окружностей из пункта 5 построения пересекутся, и задача будет иметь единственное решение (все возможные решения будут конгруэнтными параллелограммами). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, построение невозможно.

Ответ: искомый параллелограмм строится по описанному выше алгоритму, основанному на построении треугольника со сторонами $a$, $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. Задача имеет решение, если сумма длин диагоналей больше удвоенной длины данной стороны ($d_1 + d_2 > 2a$).