Номер 1.39, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. В параллелограмме $ABCD$ перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AD$, делит ее пополам. Периметр параллелограмма равен 3,8 м, а периметр треугольника $ABD$ – 3 м. Найдите диагональ $BD$ и стороны параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Обозначим его стороны как $AB$ и $AD$. Периметр параллелограмма $P_{ABCD}$ вычисляется по формуле: $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$. По условию задачи, $P_{ABCD} = 3,8$ м, следовательно: $2(AB + AD) = 3,8$ $AB + AD = 1,9$ м.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его периметр $P_{ABD}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABD} = AB + AD + BD$. По условию, $P_{ABD} = 3$ м.

Мы можем подставить значение суммы $AB + AD$, найденное из периметра параллелограмма, в формулу периметра треугольника: $3 = (AB + AD) + BD$ $3 = 1,9 + BD$ Отсюда мы можем найти длину диагонали $BD$: $BD = 3 - 1,9 = 1,1$ м.

Далее, согласно условию, перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AD$, делит эту сторону пополам. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра на стороне $AD$. Тогда $BH$ является высотой треугольника $ABD$. Поскольку $H$ — середина стороны $AD$, $BH$ также является и медианой этого треугольника.

Если в треугольнике высота, проведенная к одной из сторон, является также и медианой, то этот треугольник — равнобедренный. В нашем случае, в треугольнике $ABD$ высота и медиана $BH$ проведены из вершины $B$, следовательно, стороны, прилегающие к этой вершине, равны: $AB = BD$.

Так как мы уже вычислили, что $BD = 1,1$ м, то и сторона $AB$ имеет такую же длину: $AB = 1,1$ м.

Наконец, зная длину стороны $AB$, мы можем найти длину второй стороны параллелограмма, $AD$, используя соотношение, полученное в самом начале: $AB + AD = 1,9$ $1,1 + AD = 1,9$ $AD = 1,9 - 1,1 = 0,8$ м.

Таким образом, мы нашли и диагональ, и стороны параллелограмма.

Ответ: диагональ $BD = 1,1$ м, стороны параллелограмма равны $1,1$ м и $0,8$ м.