Номер 1.35, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$:

a) $ \angle BAC = \angle ACD, \Delta BAC = \Delta CDA; $

б) $AB \parallel CD, \angle A = \angle C$.

Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

а)

Чтобы доказать, что выпуклый четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом при заданных условиях, рассмотрим их по порядку.

1. Из условия $\angle BAC = \angle ACD$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Это связано с тем, что углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Равенство этих углов является признаком параллельности прямых, следовательно, $AB \parallel CD$.

2. Условие $\triangle BAC = \triangle CDA$ означает, что треугольники $BAC$ и $CDA$ конгруэнтны. При этом соответствие вершин следующее: $B \leftrightarrow C$, $A \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$. Из конгруэнтности треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае сторона $AB$ треугольника $BAC$ соответствует стороне $CD$ треугольника $CDA$. Таким образом, $AB = CD$.

3. Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и параллельны ($AB \parallel CD$). Согласно признаку параллелограмма, если в выпуклом четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как одна пара его противолежащих сторон ($AB$ и $CD$) одновременно равна и параллельна.

б)

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом при условиях $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, воспользуемся свойствами параллельных прямых и углов четырехугольника.

1. По условию $AB \parallel CD$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

2. По условию также известно, что $\angle A = \angle C$. Подставим $\angle C$ вместо $\angle A$ в равенство, полученное в предыдущем шаге. Получим: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$, а также секущую $CD$. Углы $\angle C$ (или $\angle BCD$) и $\angle D$ (или $\angle ADC$) являются внутренними односторонними углами для этих прямых. Поскольку их сумма, как мы показали, равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

4. В результате мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как обе пары его противолежащих сторон попарно параллельны.