Номер 1.28, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна:

1) $40^\circ$;

2) $80^\circ$;

3) $120^\circ$.

В параллелограмме есть две пары равных углов: противолежащие углы. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних), равна $180°$. Разность двух углов может быть отлична от нуля только в том случае, если это соседние углы, так как противолежащие углы равны, и их разность равна нулю.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два соседних угла параллелограмма. По свойству параллелограмма, их сумма равна $180°$.

1)

По условию, разность двух углов равна $40°$. Составим систему уравнений, где $\alpha$ и $\beta$ — искомые соседние углы:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 40° \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180° + 40°$

$2\beta = 220°$

$\beta = 110°$

Теперь найдем $\alpha$, подставив значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 110° = 180°$

$\alpha = 180° - 110°$

$\alpha = 70°$

В параллелограмме две пары равных углов. Следовательно, углы параллелограмма равны $70°, 110°, 70°, 110°$.

Ответ: $70°, 110°, 70°, 110°$.

2)

По условию, разность двух углов равна $80°$. Составим систему уравнений для соседних углов $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 80° \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\beta = 180° + 80°$

$2\beta = 260°$

$\beta = 130°$

Подставим значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 130° = 180°$

$\alpha = 180° - 130°$

$\alpha = 50°$

Таким образом, углы параллелограмма равны $50°, 130°, 50°, 130°$.

Ответ: $50°, 130°, 50°, 130°$.

3)

По условию, разность двух углов равна $120°$. Составим систему уравнений для соседних углов $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 120° \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\beta = 180° + 120°$

$2\beta = 300°$

$\beta = 150°$

Подставим значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 150° = 180°$

$\alpha = 180° - 150°$

$\alpha = 30°$

Следовательно, углы параллелограмма равны $30°, 150°, 30°, 150°$.

Ответ: $30°, 150°, 30°, 150°$.