Вопросы, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?

2. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

3. Сформулируйте признаки параллелограмма, докажите их.

4. Могут ли все углы параллелограмма быть острыми?

5. Может ли только один из углов параллелограмма быть прямым?

6. Могут ли два различных острых угла быть углами одного параллелограмма?

7. Какова связь между углами параллелограмма?

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны. То есть, если в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а также стороны BC и AD параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

Основные свойства параллелограмма:

• Свойство сторон: В параллелограмме противолежащие стороны равны. Если ABCD – параллелограмм, то $AB = CD$ и $BC = AD$.
• Свойство углов: В параллелограмме противолежащие углы равны. Если ABCD – параллелограмм, то $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Свойство углов, прилежащих к одной стороне: Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
• Свойство диагоналей: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AO = OC$ и $BO = OD$.
• Свойство суммы квадратов диагоналей: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $d_1, d_2$ – длины диагоналей, а $a, b$ – длины смежных сторон.

Ответ: Свойства параллелограмма: противолежащие стороны равны; противолежащие углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Сформулируйте признаки параллелограмма, докажите их.

Признаки параллелограмма – это утверждения, которые позволяют сделать вывод, что четырехугольник является параллелограммом, на основе некоторых его свойств. Существует три основных признака.

Признак 1. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD и $AB = CD$. Проведем диагональ AC. Она делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.Рассмотрим эти треугольники. У них:

• $AB = CD$ по условию.
• AC – общая сторона.
• $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Из их равенства следует, что прямые BC и AD параллельны.Таким образом, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ по условию, $BC \parallel AD$ по доказанному), значит, ABCD – параллелограмм по определению.

Признак 2. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

• $AB = CD$ по условию.
• $BC = DA$ по условию.
• AC – общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ – накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, значит, $AB \parallel CD$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ – накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC, значит, $BC \parallel AD$. Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны, ABCD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и при этом $AO = OC$ и $BO = OD$.Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• $AO = OC$ по условию.
• $BO = OD$ по условию.
• $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. Углы $\angle OAB$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (он же $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Из их равенства следует, что $AB \parallel CD$.Итак, в четырехугольнике ABCD две стороны (AB и CD) равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, ABCD является параллелограммом.

Ответ: Признаки параллелограмма: 1) если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны; 2) если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны; 3) если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4. Могут ли все углы параллелограмма быть острыми?

Нет, не могут. Острый угол – это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника, включая параллелограмм, равна $360^\circ$.Если предположить, что все четыре угла параллелограмма острые, то их сумма будет меньше чем $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов четырехугольника. Следовательно, предположение неверно, и не все углы параллелограмма могут быть острыми.

Ответ: Нет, не могут, так как их сумма была бы меньше $360^\circ$.

5. Может ли только один из углов параллелограмма быть прямым?

Нет, не может. Прямой угол равен $90^\circ$. В параллелограмме есть два ключевых свойства, касающихся углов:

1. Противолежащие углы равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Предположим, что один из углов, например $\angle A$, является прямым, то есть $\angle A = 90^\circ$.Согласно свойству 1, противолежащий ему угол $\angle C$ также должен быть равен $90^\circ$. Таким образом, у нас уже как минимум два прямых угла.Согласно свойству 2, угол, прилежащий к $\angle A$, например $\angle B$, должен в сумме с $\angle A$ давать $180^\circ$. То есть $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Противолежащий углу $\angle B$ угол $\angle D$ также будет равен $90^\circ$.Таким образом, если хотя бы один угол параллелограмма прямой, то и все остальные его углы тоже прямые. Такой параллелограмм является прямоугольником. Невозможно, чтобы только один угол был прямым.

Ответ: Нет, не может. Если один угол прямой, то все углы прямые.

6. Могут ли два различных острых угла быть углами одного параллелограмма?

Нет, не могут. У параллелограмма всего две различные величины углов (если он не является прямоугольником). Пусть это углы $\alpha$ и $\beta$. Эти углы являются соседними (прилежащими к одной стороне), а противолежащие им углы соответственно равны им. Таким образом, углы параллелограмма – это $\alpha, \beta, \alpha, \beta$.Сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.Острый угол – это угол меньше $90^\circ$. Если предположить, что $\alpha$ – острый угол, то есть $\alpha < 90^\circ$, то для соседнего с ним угла $\beta$ получаем: $\beta = 180^\circ - \alpha$. Поскольку $\alpha < 90^\circ$, то $\beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. То есть угол $\beta$ будет тупым.Следовательно, в параллелограмме (не прямоугольнике) могут быть только два острых угла, и они будут равны друг другу (так как они противолежащие). Невозможно иметь два различных острых угла (например, $60^\circ$ и $70^\circ$) в одном параллелограмме.

Ответ: Нет, не могут. Острые углы в параллелограмме могут быть, но они всегда равны между собой.

7. Какова связь между углами параллелограмма?

Основные соотношения (связи) между углами параллелограмма ABCD следующие:

• Противоположные углы равны. Это означает, что угол при одной вершине равен углу при противоположной вершине: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Такие углы называются односторонними внутренними при параллельных прямых и секущей. Для любой стороны параллелограмма сумма прилежащих к ней углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$, и т.д.

Из этих двух свойств следует, что в параллелограмме есть только две возможные величины углов (за исключением случая прямоугольника, где все углы по $90^\circ$). Если один из углов острый ($\alpha < 90^\circ$), то смежный с ним будет тупым ($\beta = 180^\circ - \alpha > 90^\circ$).

Ответ: Противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.