Номер 1.30, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ даны точки $P$ и $Q$ так, что $PB = QD$. Докажите, что четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагоналями четырехугольника $APCQ$ являются отрезки $AC$ и $PQ$.

Рассмотрим исходный параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой каждой из них. Таким образом, мы имеем:

$AO = OC$ (1)

$BO = OD$ (2)

Из условия задачи нам известно, что точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$ и выполняется равенство $PB = QD$ (3).

Теперь докажем, что точка $O$ является также и серединой диагонали $PQ$. Для этого нужно показать, что $PO = QO$.

Рассмотрим отрезки $PO$ и $QO$. Длину отрезка $PO$ можно выразить как разность длин отрезков $BO$ и $PB$ (предполагая, что точка $P$ лежит между $B$ и $O$, а $Q$ — между $O$ и $D$). Получаем $PO = BO - PB$.

Аналогично, длину отрезка $QO$ можно выразить как разность длин отрезков $OD$ и $QD$. Получаем $QO = OD - QD$.

Используя равенства (2) и (3), сравним длины $PO$ и $QO$:

$PO = BO - PB$

$QO = OD - QD$

Поскольку $BO = OD$ и $PB = QD$, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части:

$PO = QO$

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $PQ$.

Таким образом, мы показали, что диагонали $AC$ и $PQ$ четырехугольника $APCQ$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них ($AO=OC$ и $PO=QO$).

Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.