Номер 1.37, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.25

1.37. В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$.

Найдите длины отрезков $BE$ и $EC$,

если $AB = 9 \text{ см}$, $AD = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Прямая $AE$ является секущей для параллельных прямых $AD$ и $BC$. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, угол $\angle DAE$ равен углу $\angle BEA$.

По условию задачи, $AE$ — это биссектриса угла $A$ (или $\angle BAD$). Биссектриса делит угол пополам, поэтому $\angle BAE = \angle DAE$.

Из двух полученных равенств ($\angle DAE = \angle BEA$ и $\angle BAE = \angle DAE$) следует, что $\angle BAE = \angle BEA$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Так как два его угла ($\angle BAE$ и $\angle BEA$) равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. В данном случае это стороны $AB$ и $BE$. Таким образом, $AB = BE$.

Из доказанного выше следует, что длина отрезка $BE$ равна длине стороны $AB$. По условию задачи, $AB = 9$ см. Следовательно, $BE = 9$ см.

Ответ: $BE = 9$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD$. По условию, $AD = 15$ см, значит, и $BC = 15$ см.

Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому длина стороны $BC$ является суммой длин отрезков $BE$ и $EC$: $BC = BE + EC$.

Чтобы найти длину отрезка $EC$, нужно из длины всей стороны $BC$ вычесть длину уже известного отрезка $BE$:

$EC = BC - BE = 15 - 9 = 6$ см.

Ответ: $EC = 6$ см.