Номер 1.36, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырехугольник $BMDK$ – параллелограмм (рис. 1.25).

Рис. 1.25

Чтобы доказать, что четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом, нужно показать, что он удовлетворяет одному из признаков параллелограмма. Воспользуемся признаком, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если две его противолежащие стороны равны и параллельны. Докажем, что стороны $BK$ и $DM$ равны и параллельны.

1. Доказательство параллельности сторон $BK$ и $DM$.

По условию задачи, из вершин $B$ и $D$ к диагонали $AC$ проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$. Это означает, что $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Согласно геометрическому свойству, две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $BK \parallel DM$.

2. Доказательство равенства сторон $BK$ и $DM$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle CBK$.

• $AD = CB$, так как это противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$.
• Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $AD$ и $CB$ параллельны ($AD \parallel CB$). Диагональ $AC$ является для них секущей. Поэтому накрест лежащие углы $\angle DAM$ и $\angle BCK$ равны: $\angle DAM = \angle BCK$.
• $\angle DMA = \angle BKC = 90^\circ$ по условию, так как $DM$ и $BK$ — перпендикуляры.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle CBK$ равны по гипотенузе ($AD = CB$) и острому углу ($\angle DAM = \angle BCK$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $DM = BK$.

3. Заключение.

Мы установили, что в четырехугольнике $BMDK$ противолежащие стороны $BK$ и $DM$ параллельны ($BK \parallel DM$) и равны ($BK = DM$). Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $BMDK$ является параллелограммом.