Номер 1.43, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Постройте параллелограмм, если дана точка пересечения его диагоналей и места расположения двух соседних вершин.

Пусть даны точка $O$ — точка пересечения диагоналей, и две соседние вершины $A$ и $B$ искомого параллелограмма $ABCD$.

Построение

Построение основано на ключевом свойстве диагоналей параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что вершины $C$ и $D$ симметричны вершинам $A$ и $B$ соответственно относительно точки $O$. Алгоритм построения следующий:

1. Соединяем точку $A$ с точкой $O$ и проводим луч $AO$.
2. На продолжении луча $AO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$. Точка $C$ будет третьей вершиной параллелограмма.
3. Аналогично, соединяем точку $B$ с точкой $O$ и проводим луч $BO$.
4. На продолжении луча $BO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$. Точка $D$ будет четвертой вершиной.
5. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Также по построению выполнены равенства $AO = OC$ и $BO = OD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Так как в четырехугольнике $ABCD$ это условие выполняется, он является параллелограммом. Вершины $A$ и $B$ являются соседними, а точка $O$ — точкой пересечения диагоналей, что соответствует условию задачи.

Ответ: Для построения параллелограмма необходимо найти две недостающие вершины. Для этого нужно построить точку $C$, симметричную данной вершине $A$ относительно данной точки $O$ (точки пересечения диагоналей), и точку $D$, симметричную данной вершине $B$ также относительно точки $O$. Последовательное соединение вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ дает искомый параллелограмм.