Номер 1.45, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. Постройте параллелограмм по равным смежным сторонам и углу между ними.

Для построения параллелограмма по двум равным смежным сторонам и углу между ними нам понадобятся циркуль и линейка. Пусть задана длина смежных сторон $s$ и угол между ними $\alpha$. Так как смежные стороны параллелограмма равны, то такой параллелограмм является ромбом, а значит, все его стороны равны $s$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Начнем с построения одной из сторон. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $A$. С помощью циркуля отложим от точки $A$ отрезок $AB$ длиной $s$.
2. Теперь построим заданный угол. От луча $AB$ с вершиной в точке $A$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим новый луч, назовем его $l$.
3. На луче $l$ отложим вторую сторону. От точки $A$ на луче $l$ отложим отрезок $AD$ длиной $s$. Таким образом, мы построили две смежные стороны $AB$ и $AD$ и угол между ними $\angle DAB = \alpha$.
4. Осталось найти четвертую вершину $C$. В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ должна быть параллельна и равна стороне $AD$, а сторона $CD$ должна быть параллельна и равна стороне $AB$. Так как $AB = AD = s$, то и $BC = CD = s$. Это значит, что точка $C$ находится на расстоянии $s$ от точки $B$ и на расстоянии $s$ от точки $D$.
5. Чтобы найти точку $C$, построим две окружности (или их дуги): одну с центром в точке $B$ и радиусом $s$, а другую — с центром в точке $D$ и радиусом $s$.
6. Точка пересечения этих двух окружностей и будет искомой вершиной $C$.
7. Соединим точку $C$ с точками $B$ и $D$ с помощью отрезков.

В результате мы получили четырехугольник $ABCD$. Докажем, что он является искомым параллелограммом. По построению, $AB = s$ и $AD = s$. Также, $BC = s$ (как радиус окружности с центром в $B$) и $CD = s$ (как радиус окружности с центром в $D$). Таким образом, все стороны четырехугольника равны: $AB=BC=CD=DA=s$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно равны ($AB=CD$ и $BC=DA$), является параллелограммом. У построенного параллелограмма $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ равны $s$, а угол между ними $\angle DAB$ равен $\alpha$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом (в данном частном случае — ромбом).