Номер 1.50, страница 21 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Докажите, что угол, образованный медианой, проходящей между неравными сторонами треугольника, с меньшей из сторон, больше угла, образованного этой медианой с большей из сторон.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Дано:

Пусть имеется треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $AC$ не равны. Пусть $AM$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Без ограничения общности, будем считать, что сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$.

Требуется доказать:

Угол, образованный медианой $AM$ и меньшей стороной $AB$ (угол $\angle BAM$), больше угла, образованного медианой $AM$ и большей стороной $AC$ (угол $\angle CAM$). То есть, нужно доказать, что $\angle BAM > \angle CAM$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Соединим точку $D$ с вершиной $B$.

2. Рассмотрим полученный четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. По нашему построению, $AM = MD$, значит, точка $M$ также является серединой отрезка $AD$.

3. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

4. Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны и параллельны. В частности, сторона $BD$ равна стороне $AC$ ($BD = AC$), и прямые $BD$ и $AC$ параллельны ($BD \parallel AC$).

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны — $AB$, $BD$ и $AD$. По условию задачи, мы приняли, что $AC > AB$. Так как $BD = AC$, то в треугольнике $ABD$ сторона $BD$ больше стороны $AB$, то есть $BD > AB$.

6. Вспомним теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Применим эту теорему к треугольнику $ABD$:

• Напротив стороны $BD$ лежит угол $\angle BAD$.
• Напротив стороны $AB$ лежит угол $\angle BDA$.

Поскольку $BD > AB$, то и соответствующий противолежащий угол будет больше: $\angle BAD > \angle BDA$.

7. Установим связь между углами в треугольнике $ABD$ и углами, которые нам нужно сравнить:

• Угол $\angle BAD$ является тем же углом, что и $\angle BAM$, так как точка $M$ лежит на отрезке $AD$. Итак, $\angle BAD = \angle BAM$.
• Поскольку прямые $AC$ и $BD$ параллельны, а $AD$ является для них секущей, то накрест лежащие углы $\angle CAM$ и $\angle BDA$ равны. Итак, $\angle CAM = \angle BDA$.

8. Подставим полученные равенства в неравенство из пункта 6:

Если $\angle BAD > \angle BDA$, то это означает, что $\angle BAM > \angle CAM$.

Таким образом, мы доказали, что угол, образованный медианой с меньшей из двух сторон, больше угла, образованного этой же медианой с большей стороной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол, образованный медианой, проходящей между неравными сторонами треугольника, с меньшей из сторон, действительно больше угла, образованного этой медианой с большей из сторон.