Вопросы, страница 23 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая фигура называется прямоугольником?

2. Можно ли параллелограмм определить так: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого равны между собой и параллельны?»

3. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

4. Что такое ромб?

5. Докажите, что диагонали ромба: 1) взаимно перпендикулярны; 2) являются биссектрисами его углов.

6. Что такое квадрат и какие его свойства вы знаете?

7. Что можно сказать о параллелограмме, все высоты которого равны между собой?

1. Какая фигура называется прямоугольником?

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.

Ответ: Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами.

2. Можно ли параллелограмм определить так: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого равны между собой и параллельны»?

Да, такое определение возможно, хотя оно и является избыточным. Стандартное определение параллелограмма гласит, что это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Из этого определения следует, что противоположные стороны также и равны. С другой стороны, существует признак параллелограмма: если у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, предложенное в вопросе определение корректно описывает фигуру, но содержит лишнее условие, так как одного из них (либо параллельности, либо равенства противоположных сторон) уже достаточно для вывода второго.

Ответ: Да, можно, но такое определение избыточно.

3. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

В этих треугольниках:
1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$ как противоположные стороны прямоугольника.
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle DAB$ равен углу $\angle CDA$ и оба равны $90^\circ$ по определению прямоугольника.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В данном случае гипотенуза $BD$ треугольника $\triangle ABD$ равна гипотенузе $AC$ треугольника $\triangle DCA$. Таким образом, $AC = BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство диагоналей прямоугольника доказано через равенство треугольников, образованных диагоналями и сторонами прямоугольника.

4. Что такое ромб?

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ответ: Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.

5. Докажите, что диагонали ромба: 1) взаимно перпендикулярны; 2) являются биссектрисами его углов.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1) взаимно перпендикулярны
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как по определению ромба $AB = BC$, то этот треугольник является равнобедренным. Поскольку ромб — это частный случай параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$. Это означает, что отрезок $BO$ является медианой, проведенной к основанию $AC$ равнобедренного треугольника $\triangle ABC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, $BO \perp AC$, а следовательно, и вся диагональ $BD \perp AC$. Это означает, что угол $\angle AOB = 90^\circ$.

2) являются биссектрисами его углов
В том же равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ медиана $BO$ является также и биссектрисой угла $\angle ABC$. Следовательно, диагональ $BD$ делит угол $\angle B$ пополам. Аналогично, рассматривая треугольник $\triangle ADC$, можно доказать, что $DO$ является биссектрисой угла $\angle D$. Таким образом, диагональ $BD$ является биссектрисой углов $\angle B$ и $\angle D$.
Рассматривая треугольник $\triangle BAD$, который также является равнобедренным ($AB = AD$), и медиану $AO$, доказываем, что она является биссектрисой угла $\angle A$. Аналогично для угла $\angle C$. Таким образом, диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$.

Ответ: Свойства диагоналей ромба доказаны с использованием свойств равнобедренного треугольника.

6. Что такое квадрат и какие его свойства вы знаете?

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Эквивалентное определение: квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба:
- Все стороны равны.
- Все углы прямые ($90^\circ$).
- Противоположные стороны попарно параллельны.
- Диагонали равны (как у прямоугольника).
- Диагонали взаимно перпендикулярны (как у ромба).
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам (как у параллелограмма).
- Диагонали являются биссектрисами его углов (как у ромба) и делят их на углы по $45^\circ$.

Ответ: Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами; он сочетает в себе свойства прямоугольника и ромба.

7. Что можно сказать о параллелограмме, все высоты которого равны между собой?

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Высота, опущенная на сторону $a$, пусть будет $h_a$, а на сторону $b$ — $h_b$. Площадь $S$ такого параллелограмма можно найти двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

По условию, все высоты параллелограмма равны. В общем случае у параллелограмма две разные высоты, поэтому условие означает, что $h_a = h_b$. Обозначим эту общую высоту как $h$.

Тогда мы можем приравнять выражения для площади: $a \cdot h = b \cdot h$.

Так как для существующего параллелограмма высота $h > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $h$. В результате получаем $a = b$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, по определению является ромбом.

Ответ: Параллелограмм, у которого все высоты равны, является ромбом.