Номер 1.55, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.33

1.55. Какими условиями следует дополнить задачи 1.53 и 1.54, чтобы четырехугольники всегда были прямоугольниками?

Поскольку содержание задач 1.53 и 1.54 не предоставлено, мы сделаем разумные предположения об их содержании, исходя из типичных задач по геометрии для данной темы.

Предположим, что в задаче 1.53 речь идет о четырехугольнике, образованном серединами сторон произвольного четырехугольника (так называемый параллелограмм Вариньона). Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Известно, что четырехугольник $KLMN$ всегда является параллелограммом.

Для того чтобы параллелограмм $KLMN$ был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его соседние стороны были перпендикулярны, например, $KL \perp KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ является его средней линией. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$, то есть $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией, поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Условие перпендикулярности сторон $KL$ и $KN$ ($KL \perp KN$) эквивалентно условию перпендикулярности прямых, которым они параллельны. Следовательно, диагонали исходного четырехугольника $AC$ и $BD$ должны быть перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Таким образом, чтобы четырехугольник, образованный серединами сторон, был прямоугольником, необходимо, чтобы диагонали исходного четырехугольника были перпендикулярны.

Ответ: диагонали исходного четырехугольника должны быть перпендикулярны.

Предположим, что в задаче 1.54 рассматривается четырехугольник, построенный следующим образом: в параллелограмме $ABCD$ из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на диагональ $BD$. Требуется определить условие, при котором образованный четырехугольник $APCQ$ будет прямоугольником.

Сначала докажем, что $APCQ$ — параллелограмм. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APD$ и $\triangle CQB$. Гипотенуза $AD$ равна гипотенузе $CB$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$). Углы $\angle ADP$ и $\angle CBQ$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$. Следовательно, $\triangle APD \cong \triangle CQB$ (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует, что катеты $AP$ и $CQ$ равны ($AP = CQ$). По построению $AP \perp BD$ и $CQ \perp BD$, из чего следует, что $AP \parallel CQ$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $APCQ$ — параллелограмм.

Для того чтобы параллелограмм $APCQ$ был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны. Диагоналями параллелограмма $APCQ$ являются отрезки $AC$ и $PQ$.

Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$. Поэтому отрезок $PQ$ является частью диагонали $BD$. Условие перпендикулярности диагоналей $AC \perp PQ$ эквивалентно условию перпендикулярности диагоналей исходного параллелограмма $AC \perp BD$.

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом.

Таким образом, чтобы четырехугольник $APCQ$ был прямоугольником, необходимо, чтобы исходный параллелограмм $ABCD$ был ромбом.

Ответ: исходный четырехугольник (параллелограмм) должен быть ромбом.