Номер 1.58, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.58, страница 24.

Учебник rus.

1.58. Если диагонали параллелограмма:

а) взаимно перпендикулярны;

б) являются биссектрисами его углов, то он является ромбом. Докажите.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся определением ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, чтобы доказать, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно доказать равенство его смежных сторон.

а)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$, которые образуются при пересечении диагоналей.
1. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, а значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$.
Из этого следует, что $\triangle AOB = \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = BC$.
Мы доказали, что смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны. Так как в параллелограмме противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, а диагональ $BD$ — биссектрисой угла $\angle B$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:
Рассмотрим диагональ $AC$. По условию, она является биссектрисой угла $\angle A$ (угла $\angle BAD$). Это означает, что $\angle BAC = \angle CAD$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, т.е. $BC \parallel AD$.
Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении, равны: $\angle BCA = \angle CAD$.
Из двух равенств, $\angle BAC = \angle CAD$ (по условию) и $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы), следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как в нём два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AB = BC$.
Мы доказали, что смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны. Этого достаточно, чтобы утверждать, что все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$).
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.