Номер 1.62, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.62. Попробуйте перечислить несколько признаков прямоугольника и ромба.

Признаки прямоугольника

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма. Следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны, диагонали в точке пересечения делятся пополам). Однако существуют особые признаки, которые позволяют утверждать, что данный параллелограмм является прямоугольником.

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется одно из следующих условий:

1. Один из углов прямой. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен $90^\circ$, то и остальные углы будут прямыми. Это следует из того, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны.

2. Диагонали равны. Если в параллелограмме диагонали имеют одинаковую длину, то такой параллелограмм является прямоугольником. Это можно доказать, рассмотрев равенство треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм.

Также, по определению, любой четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: 1) Если в параллелограмме есть один прямой угол, то это прямоугольник. 2) Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Признаки ромба

Ромб, как и прямоугольник, является частным случаем параллелограмма и наследует все его свойства. Признаки, по которым можно определить, что данный параллелограмм является ромбом, следующие:

Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Две смежные стороны равны. По свойству параллелограмма противоположные стороны равны. Если равны и смежные стороны, значит, все четыре стороны равны между собой, что соответствует определению ромба.

2. Диагонали взаимно перпендикулярны. Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), то этот параллелограмм — ромб.

3. Диагонали являются биссектрисами его углов. Если хотя бы одна диагональ параллелограмма делит углы, из которых она выходит, пополам, то такой параллелограмм является ромбом.

Также, по определению, любой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: 1) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то это ромб. 2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. 3) Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то это ромб.