Номер 1.68, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, которые удалены от центра на 6 см и 10 см. Найдите длины хорд.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $A$ — точка на окружности, из которой проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $AC$. Это означает, что угол $\angle BAC = 90^\circ$.

Расстояние от центра окружности до хорды определяется длиной перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Обозначим через $M$ и $N$ основания этих перпендикуляров, опущенных из центра $O$ на хорды $AB$ и $AC$ соответственно. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp AC$. По условию задачи, эти расстояния равны 6 см и 10 см. Пусть $ON = 6$ см, а $OM = 10$ см.

Рассмотрим четырехугольник $AMON$. В этом четырехугольнике нам известны три угла: $\angle MAN = \angle BAC = 90^\circ$ (так как хорды перпендикулярны), $\angle OMA = 90^\circ$ (по построению, так как $OM$ — расстояние до хорды $AB$), и $\angle ONA = 90^\circ$ (по построению, так как $ON$ — расстояние до хорды $AC$). Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, следовательно, четвертый угол $\angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку все углы четырехугольника $AMON$ прямые, он является прямоугольником.

Основное свойство прямоугольника заключается в том, что его противоположные стороны равны. Отсюда следует, что $AM = ON$ и $AN = OM$. Подставляя известные значения расстояний, получаем длины отрезков $AM$ и $AN$:
$AM = ON = 6$ см
$AN = OM = 10$ см

По свойству хорд в окружности, перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее на две равные части. То есть, $M$ — середина хорды $AB$, а $N$ — середина хорды $AC$. Следовательно, длины хорд можно найти, удвоив длины отрезков $AM$ и $AN$:
Длина хорды $AB = 2 \times AM = 2 \times 6 = 12$ см.
Длина хорды $AC = 2 \times AN = 2 \times 10 = 20$ см.

Ответ: длины хорд равны 12 см и 20 см.