Номер 1.70, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Стороны прямоугольника относятся как $5 : 2$, а гипотенуза треугольника равна 45 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Гипотенуза $AB = 45$ см. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его углы при гипотенузе равны: $\angle A = \angle B = 45^{\circ}$.

В этот треугольник вписан прямоугольник $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $L$ лежат на гипотенузе $AB$, а вершины $M$ и $N$ — на катетах $BC$ и $AC$ соответственно. Стороны прямоугольника $KLMN$ относятся как $5:2$. Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Пусть $a:b = 5:2$, тогда можно записать стороны как $a = 5x$ и $b = 2x$ для некоторого коэффициента $x$.

Задача не уточняет, какая из сторон прямоугольника (большая или меньшая) лежит на гипотенузе. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Большая сторона прямоугольника лежит на гипотенузе.

В этом случае длина стороны, лежащей на гипотенузе, равна $5x$, а высота прямоугольника равна $2x$. То есть, $KL = 5x$ и $NK = ML = 2x$.

Рассмотрим маленький треугольник $ANK$, который образуется в углу $A$ большого треугольника. В этом треугольнике:

• $\angle NKA = 90^{\circ}$ (так как $NK$ — сторона прямоугольника, а $KL$ лежит на $AB$).
• $\angle NAK = \angle A = 45^{\circ}$ (по условию).

Следовательно, третий угол $\angle ANK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Это значит, что треугольник $ANK$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: $AK = NK$.

Так как $NK = 2x$, то и $AK = 2x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BML$ в углу $B$. Он также является равнобедренным прямоугольным треугольником, и его катеты равны: $BL = ML$.

Так как $ML = 2x$, то и $BL = 2x$.

Гипотенуза $AB$ состоит из трех отрезков: $AK$, $KL$ и $LB$. Мы можем записать:

$AB = AK + KL + LB$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$45 = 2x + 5x + 2x$

$45 = 9x$

$x = \frac{45}{9} = 5$

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Большая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 5 = 25$ см.

Меньшая сторона: $b = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 25 см и 10 см.

Случай 2: Меньшая сторона прямоугольника лежит на гипотенузе.

В этом случае длина стороны, лежащей на гипотенузе, равна $2x$, а высота прямоугольника равна $5x$. То есть, $KL = 2x$ и $NK = ML = 5x$.

Как и в первом случае, треугольники $ANK$ и $BML$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В треугольнике $ANK$ катеты равны: $AK = NK$. Так как $NK = 5x$, то и $AK = 5x$.

В треугольнике $BML$ катеты равны: $BL = ML$. Так как $ML = 5x$, то и $BL = 5x$.

Снова используем равенство для гипотенузы $AB$:

$AB = AK + KL + LB$

Подставим новые выражения для отрезков:

$45 = 5x + 2x + 5x$

$45 = 12x$

$x = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3,75$

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Большая сторона: $a = 5x = 5 \cdot 3,75 = 18,75$ см.

Меньшая сторона: $b = 2x = 2 \cdot 3,75 = 7,5$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 18,75 см и 7,5 см.