Номер 1.71, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. В параллелограмме $ABCD$ $AD > AB$. Биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AD$ в точке $L$. Докажите, что четырехугольник $ABKL$ является ромбом (рис. 1.37).

Для доказательства того, что четырехугольник ABKL является ромбом, необходимо показать, что он является параллелограммом, у которого все стороны равны.

1. Докажем, что $AB = AL$.

По условию, ABCD — параллелограмм, следовательно, его противолежащие стороны параллельны: $AD \parallel BC$.

Рассмотрим биссектрису BL угла B.

• По определению биссектрисы: $\angle ABL = \angle LBC$.
• Углы $\angle LBC$ и $\angle ALB$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей BL. Следовательно, $\angle LBC = \angle ALB$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle ABL = \angle ALB$.

Это означает, что треугольник ABL является равнобедренным с основанием BL. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = AL$.

2. Докажем, что $AB = BK$.

Рассмотрим биссектрису AK угла A.

• По определению биссектрисы: $\angle BAK = \angle KAD$.
• Углы $\angle KAD$ и $\angle BKA$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AK. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

Это означает, что треугольник ABK является равнобедренным с основанием AK. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

3. Докажем, что ABKL — ромб.

Из пунктов 1 и 2 мы получили, что $AL = AB$ и $BK = AB$. Отсюда следует, что $AL = BK$.

Рассмотрим четырехугольник ABKL. У него стороны $AL$ и $BK$ лежат на параллельных прямых ($AD \parallel BC$), значит, $AL \parallel BK$. Кроме того, мы доказали, что длины этих сторон равны ($AL = BK$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, ABKL — параллелограмм.

В параллелограмме ABKL смежные стороны $AB$ и $AL$ равны ($AB = AL$, как доказано в пункте 1). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Следовательно, четырехугольник ABKL является ромбом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В результате последовательных шагов было установлено, что ABKL является параллелограммом с равными смежными сторонами, что по определению делает его ромбом.