Номер 1.69, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника (рис. 1.36).

Рис. 1.36

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию задачи, его катеты равны $AC = BC = 6$ см. Так как катеты равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы при гипотенузе равны и составляют $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $CDEF$, который имеет с ним общий прямой угол $C$. Это означает, что вершина $D$ лежит на катете $AC$, вершина $F$ — на катете $BC$, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим длины сторон прямоугольника: $CF = x$ и $CD = y$. Периметр прямоугольника $P_{CDEF}$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$.

Рассмотрим треугольник $EFB$. Так как $CDEF$ является прямоугольником, его сторона $EF$ параллельна стороне $CD$, а значит, и катету $AC$. Поскольку $AC \perp BC$, то и $EF \perp BC$. Следовательно, $\triangle EFB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle EFB = 90^\circ$.

Угол $\angle B$ у треугольников $ABC$ и $EFB$ общий, поэтому $\angle FBE = \angle ABC = 45^\circ$.

Поскольку $\triangle EFB$ — прямоугольный с острым углом $45^\circ$, он является равнобедренным, и его катеты равны: $EF = FB$.

Длина стороны $EF$ прямоугольника равна длине его противолежащей стороны $CD$, то есть $EF = CD = y$.

Длину отрезка $FB$ можно выразить через длину катета $BC$ и отрезка $CF$: $FB = BC - CF = 6 - x$.

Так как $EF = FB$, мы можем приравнять полученные выражения: $y = 6 - x$

Из этого уравнения следует, что сумма длин смежных сторон прямоугольника равна: $x + y = 6$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр прямоугольника $CDEF$: $P = 2(x + y) = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.