Номер 1.66, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что треугольники $AOD$ и $AOB$ равнобедренные.

б) Найдите периметр треугольника $AOB$, если $\angle CAD=30^\circ$, $AC=12$ см (рис. 1.35).

Рис. 1.35

а)

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

1. Диагонали равны: $AC = BD$.

2. Диагонали делятся точкой пересечения $O$ пополам: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из этих двух свойств следует, что все четыре отрезка, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. В нем стороны $AO$ и $OD$ равны ($AO = OD$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем стороны $AO$ и $BO$ равны ($AO = BO$). Следовательно, треугольник $AOB$ также является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники $AOD$ и $AOB$ являются равнобедренными, так как их боковые стороны являются половинами равных диагоналей прямоугольника.

б)

Для нахождения периметра треугольника $AOB$ нужно найти длины его сторон: $AO$, $BO$ и $AB$.

1. Известно, что диагональ $AC = 12$ см. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то $AO = \frac{1}{2}AC$.
$AO = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Как мы доказали в пункте а), треугольник $AOB$ является равнобедренным, где $AO = BO$.
Следовательно, $BO = 6$ см.

3. Найдем сторону $AB$. Угол $A$ прямоугольника $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $\angle DAB = 90^\circ$.
Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAB$ и $\angle CAD$.
По условию, $\angle CAD = 30^\circ$.
Тогда $\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

4. В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.
Так как $\angle OAB$ это то же самое, что и $\angle CAB$, то $\angle OAB = 60^\circ$.
Следовательно, $\angle OBA = 60^\circ$.

5. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

6. Поскольку все три угла треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, он является не просто равнобедренным, а равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.
$AB = AO = BO = 6$ см.

7. Теперь найдем периметр треугольника $AOB$, который равен сумме длин его сторон:
$P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: 18 см.