Номер 1.72, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.72, страница 25.

Учебник rus.

1.72. Через точку пересечения диагоналей ромба к его сторонам проведены перпендикуляры. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Из точки $O$ опущены перпендикуляры на стороны ромба: $OM$ на $AB$, $ON$ на $BC$, $OP$ на $CD$ и $OQ$ на $DA$. Образовался четырехугольник $MNPQ$. Требуется доказать, что $MNPQ$ — прямоугольник.

Доказательство

Для доказательства того, что четырехугольник $MNPQ$ является прямоугольником, мы установим, что он является параллелограммом, диагонали которого равны.

Сначала докажем, что $MNPQ$ — параллелограмм. Для этого покажем, что его диагонали $MP$ и $NQ$ пересекаются в своей середине. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OCP$. В них сторона $OA = OC$, так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Угол $\angle OAM = \angle OCP$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\triangle OAM \cong \triangle OCP$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что $OM = OP$. Так как $OM \perp AB$ и $OP \perp CD$, а стороны $AB$ и $CD$ параллельны, то точки $M$, $O$, $P$ лежат на одной прямой. Это означает, что точка $O$ — середина отрезка $MP$.

Аналогично, рассмотрев прямоугольные треугольники $\triangle OBN$ и $\triangle ODQ$, мы видим, что $OB = OD$ (по свойству диагоналей ромба) и $\angle OBN = \angle ODQ$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$). Таким образом, $\triangle OBN \cong \triangle ODQ$ по гипотенузе и острому углу, откуда следует, что $ON = OQ$. Точки $N, O, Q$ лежат на одной прямой, и точка $O$ является серединой отрезка $NQ$.

Поскольку диагонали четырехугольника $MNPQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, $MNPQ$ является параллелограммом по признаку.

Теперь докажем, что диагонали этого параллелограмма равны, то есть $MP = NQ$. Так как $MP = 2 \cdot OM$ и $NQ = 2 \cdot ON$, нам достаточно доказать, что $OM = ON$. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle ONB$. У них общая гипотенуза $OB$, а острые углы $\angle MBO$ и $\angle NBO$ равны, поскольку диагональ $BD$ ромба является биссектрисой угла $\angle ABC$. Следовательно, $\triangle OMB \cong \triangle ONB$ по гипотенузе и острому углу. Из этого равенства получаем, что $OM = ON$.

Таким образом, мы установили, что $MNPQ$ — это параллелограмм, и его диагонали равны ($MP = 2 \cdot OM = 2 \cdot ON = NQ$). Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки пересечения перпендикуляров, проведенных из точки пересечения диагоналей ромба к его сторонам, действительно являются вершинами прямоугольника.