Номер 1.63, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.63, страница 24.

Учебник rus.

1.63. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит его сторону пополам. Меньшая сторона этого прямоугольника равна 10 см (рис. 1.34). Найдите периметр прямоугольника.

Рис. 1.34

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть дан прямоугольник ABCD. Проведем биссектрису угла A, которая, согласно условию и рисунку, пересекает сторону BC в точке M.

Так как ABCD — это прямоугольник, то все его углы прямые, т.е. $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Поскольку AM — биссектриса угла A, она делит его на два равных угла:
$\angle BAM = \angle MAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая AM является секущей при этих параллельных прямых. Углы $\angle AMB$ и $\angle MAD$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны:
$\angle AMB = \angle MAD = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике два угла равны: $\angle BAM = 45^\circ$ и $\angle AMB = 45^\circ$. Следовательно, треугольник ABM является равнобедренным, и его боковые стороны (стороны, лежащие напротив равных углов) равны:
$AB = BM$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону BC пополам. Это значит, что точка M является серединой отрезка BC, и $BM = MC$. Тогда длина всей стороны BC равна:
$BC = BM + MC = 2 \cdot BM$.

Из равенств $AB = BM$ и $BC = 2 \cdot BM$ следует, что $BC = 2 \cdot AB$. Это означает, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой. Соответственно, сторона AB является меньшей стороной прямоугольника.

По условию, меньшая сторона равна 10 см. Таким образом:
$AB = 10$ см.

Тогда большая сторона равна:
$BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a+b)$, где a и b — его смежные стороны. Подставим найденные значения сторон:
$P = 2(AB + BC) = 2(10 + 20) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.