Страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. На глаз постройте прямоугольник (пусть его стороны будут не параллельны линиям тетради в клетку). Проверьте чертеж, используя свойства прямоугольника и проведя необходимые измерения.

2. Выполните задание 1 для квадрата и ромба.

1. Построение прямоугольника:
На листе бумаги (или в тетради) с помощью карандаша начертите от руки четырехугольник, который визуально похож на прямоугольник. Важно, чтобы его стороны не были параллельны или перпендикулярны краям листа или линиям сетки тетради. Для этого начните с рисования одного отрезка под произвольным углом. Затем от его концов постарайтесь начертить два перпендикулярных ему отрезка примерно одинаковой длины. Наконец, соедините концы этих двух отрезков, чтобы замкнуть фигуру. Обозначим вершины полученного четырехугольника буквами A, B, C, D.

Проверка чертежа с использованием свойств прямоугольника:
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Для проверки необходимо использовать измерительные инструменты: линейку и транспортир (или угольник с прямым углом). Существует несколько способов проверки.

1. Проверка сторон и углов.
   • С помощью линейки измерьте длины противоположных сторон. В прямоугольнике ABCD должно выполняться: $AB = CD$ и $BC = AD$.
   • С помощью транспортира или прямого угла угольника измерьте все четыре внутренних угла четырехугольника ($\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$). У идеального прямоугольника каждый угол равен $90^\circ$. Если ваши измерения близки к этому значению, построение можно считать удачным.
2. Проверка по диагоналям (наиболее точный способ).
   • Проведите в построенном четырехугольнике диагонали AC и BD.
   • С помощью линейки измерьте их длины. У прямоугольника диагонали должны быть равны: $AC = BD$.
   • Проверьте, делятся ли диагонали точкой пересечения O пополам. Измерьте отрезки $AO$, $OC$, $BO$ и $OD$. Должно выполняться равенство: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Если в результате измерений выяснится, что противоположные стороны попарно равны и диагонали равны, то построенная фигура является прямоугольником. Допускаются небольшие погрешности, связанные с ручным построением.
Ответ: Чтобы построить прямоугольник на глаз и проверить его, нужно начертить четырехугольник, похожий на прямоугольник, со сторонами, не параллельными линиям тетради. Затем следует проверить чертеж одним из способов: 1) измерить противоположные стороны — они должны быть попарно равны, и измерить все углы — они должны быть равны $90^\circ$; 2) измерить диагонали — они должны быть равны и точкой пересечения делиться пополам.

2. Это задание выполняется аналогично первому, но с учетом специфических свойств квадрата и ромба.

Построение и проверка квадрата

Построение: Начертите на глаз четырехугольник, у которого все стороны выглядят равными по длине, а все углы — прямыми. Как и в первом задании, его стороны не должны быть параллельны линиям тетради.

Проверка: Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Для проверки достаточно убедиться в выполнении ключевых свойств.

1. Проверка сторон и углов. Измерьте линейкой все четыре стороны — они должны быть равны ($AB = BC = CD = DA$). Затем измерьте транспортиром хотя бы один угол — он должен быть равен $90^\circ$. Если в четырехугольнике с равными сторонами есть один прямой угол, то все остальные углы также будут прямыми.
2. Проверка по диагоналям. Проведите диагонали. Измерьте их длины — они должны быть равны. Затем измерьте угол между ними — он должен быть прямым ($90^\circ$).

Построение и проверка ромба

Построение: Начертите на глаз четырехугольник, у которого все стороны выглядят равными по длине, но углы очевидно не являются прямыми (два противоположных угла острые, два других — тупые). Стороны не должны быть параллельны линиям тетради.

Проверка: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

1. Проверка сторон. Это основное свойство. Измерьте линейкой все четыре стороны. Они должны быть равны ($AB = BC = CD = DA$).
2. Проверка по диагоналям. Проведите диагонали. Измерьте угол между ними в точке пересечения. Он должен быть равен $90^\circ$ ($AC \perp BD$). Также убедитесь, что диагонали точкой пересечения делятся пополам. В отличие от квадрата, диагонали ромба (если он не квадрат) не равны друг другу.

Ответ: Для квадрата и ромба необходимо выполнить аналогичные действия. Квадрат: начертить на глаз фигуру с равными сторонами и прямыми углами. Проверить равенство всех сторон и равенство одного из углов $90^\circ$ (или равенство и перпендикулярность диагоналей). Ромб: начертить на глаз фигуру с равными сторонами, но с непрямыми углами. Проверить равенство всех сторон. Для большей точности можно также проверить, что диагонали взаимно перпендикулярны.

1.53. Докажите, что четырехугольник, имеющий два прямых угла, не всегда является прямоугольником (рис. 1.33).

Чтобы доказать, что четырехугольник, имеющий два прямых угла, не всегда является прямоугольником, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример) такого четырехугольника, который не является прямоугольником.

Сначала вспомним определение: прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Теперь построим четырехугольник, который будет служить нашим контрпримером. Рассмотрим фигуру, известную как прямоугольная трапеция.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, у которого основания $AB$ и $DC$ параллельны друг другу ($AB \parallel DC$), а одна из боковых сторон, например $AD$, перпендикулярна обоим основаниям.

Проанализируем углы этого четырехугольника:

• Поскольку сторона $AD$ перпендикулярна основанию $AB$, угол при вершине $A$ прямой: $\angle DAB = 90^\circ$.
• Поскольку сторона $AD$ перпендикулярна основанию $DC$, угол при вершине $D$ также прямой: $\angle ADC = 90^\circ$.

Таким образом, мы построили четырехугольник, у которого есть два прямых угла.

Теперь проверим, является ли он прямоугольником. Для этого необходимо, чтобы два других угла, $\angle ABC$ и $\angle BCD$, также были прямыми.

По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $BC$ это означает: $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Это равенство превратится в $\angle ABC = \angle BCD = 90^\circ$ только в том случае, если боковая сторона $BC$ также перпендикулярна основаниям. А это возможно, только если длины оснований равны, то есть $AB = DC$. В таком случае трапеция становится прямоугольником.

Однако, если мы выберем длины оснований не равными друг другу, например $AB \neq DC$, то фигура останется трапецией, но не будет прямоугольником. В этом случае сторона $BC$ будет наклонена к основаниям, и, следовательно, углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ не будут равны $90^\circ$. Например, если основание $DC$ длиннее основания $AB$, то угол $\angle ABC$ будет тупым (больше $90^\circ$), а угол $\angle BCD$ — острым (меньше $90^\circ$).

Такая прямоугольная трапеция с неравными основаниями и является искомым контрпримером. Она имеет два прямых угла, но не является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. В качестве примера четырехугольника с двумя прямыми углами, не являющегося прямоугольником, можно взять любую прямоугольную трапецию, у которой основания не равны. У такой трапеции два угла при одной боковой стороне прямые, а два других угла не являются прямыми, что означает, что она не является прямоугольником.

1.54. Постройте четырехугольник, диагонали которого равны, но он не является прямоугольником.

Искомым четырехугольником, диагонали которого равны, но который не является прямоугольником, является равнобокая (или равнобедренная) трапеция.

Равнобокая трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые) равны по длине. У любой равнобокой трапеции диагонали равны. Докажем это.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и равными боковыми сторонами $AB = CD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. В этих треугольниках:

• сторона $AD$ — общая;
• стороны $AB = DC$ по определению равнобокой трапеции;
• углы $\angle BAD = \angle CDA$ как углы при основании равнобокой трапеции.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Из равенства треугольников вытекает равенство их соответствующих сторон, а именно диагоналей: $BD = AC$.

В то же время, если основания трапеции не равны ($AD \neq BC$), то ее углы не являются прямыми, а значит, она не является прямоугольником. Прямоугольник является лишь частным случаем равнобокой трапеции, у которой основания равны.

Для построения такой фигуры можно выполнить следующие шаги:

1. Начертить отрезок $AD$ — будущее нижнее основание трапеции.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
3. На этом перпендикуляре выбрать точку $N$ и провести через нее прямую $l$, параллельную $AD$.
4. На прямой $l$ отложить от точки $N$ влево и вправо равные отрезки, чтобы получить точки $B$ и $C$. Длину этих отрезков нужно выбрать так, чтобы итоговый отрезок $BC$ не был равен $AD$.
5. Соединить последовательно вершины $A, B, C, D$.

Полученная фигура $ABCD$ является равнобокой трапецией. По построению она симметрична относительно серединного перпендикуляра к основаниям, поэтому ее боковые стороны и диагонали равны. Так как $AD \neq BC$, она не является прямоугольником.

На рисунке показана равнобокая трапеция $ABCD$ с равными диагоналями $AC$ и $BD$. Так как ее углы не прямые, она не является прямоугольником.

Ответ: Искомой фигурой является любая равнобокая трапеция, которая не является прямоугольником.

Рис. 1.33

1.55. Какими условиями следует дополнить задачи 1.53 и 1.54, чтобы четырехугольники всегда были прямоугольниками?

Поскольку содержание задач 1.53 и 1.54 не предоставлено, мы сделаем разумные предположения об их содержании, исходя из типичных задач по геометрии для данной темы.

Предположим, что в задаче 1.53 речь идет о четырехугольнике, образованном серединами сторон произвольного четырехугольника (так называемый параллелограмм Вариньона). Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$, а точки $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Известно, что четырехугольник $KLMN$ всегда является параллелограммом.

Для того чтобы параллелограмм $KLMN$ был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его соседние стороны были перпендикулярны, например, $KL \perp KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ является его средней линией. По свойству средней линии, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$, то есть $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ является его средней линией, поэтому $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2}BD$.

Условие перпендикулярности сторон $KL$ и $KN$ ($KL \perp KN$) эквивалентно условию перпендикулярности прямых, которым они параллельны. Следовательно, диагонали исходного четырехугольника $AC$ и $BD$ должны быть перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Таким образом, чтобы четырехугольник, образованный серединами сторон, был прямоугольником, необходимо, чтобы диагонали исходного четырехугольника были перпендикулярны.

Ответ: диагонали исходного четырехугольника должны быть перпендикулярны.

Предположим, что в задаче 1.54 рассматривается четырехугольник, построенный следующим образом: в параллелограмме $ABCD$ из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на диагональ $BD$. Требуется определить условие, при котором образованный четырехугольник $APCQ$ будет прямоугольником.

Сначала докажем, что $APCQ$ — параллелограмм. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APD$ и $\triangle CQB$. Гипотенуза $AD$ равна гипотенузе $CB$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$). Углы $\angle ADP$ и $\angle CBQ$ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$. Следовательно, $\triangle APD \cong \triangle CQB$ (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует, что катеты $AP$ и $CQ$ равны ($AP = CQ$). По построению $AP \perp BD$ и $CQ \perp BD$, из чего следует, что $AP \parallel CQ$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Значит, $APCQ$ — параллелограмм.

Для того чтобы параллелограмм $APCQ$ был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны. Диагоналями параллелограмма $APCQ$ являются отрезки $AC$ и $PQ$.

Точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$. Поэтому отрезок $PQ$ является частью диагонали $BD$. Условие перпендикулярности диагоналей $AC \perp PQ$ эквивалентно условию перпендикулярности диагоналей исходного параллелограмма $AC \perp BD$.

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом.

Таким образом, чтобы четырехугольник $APCQ$ был прямоугольником, необходимо, чтобы исходный параллелограмм $ABCD$ был ромбом.

Ответ: исходный четырехугольник (параллелограмм) должен быть ромбом.

1.56. Докажите, что четырехугольник, все углы которого равны между собой, является прямоугольником.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством суммы углов четырехугольника.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

Пусть нам дан четырехугольник, у которого все четыре угла равны между собой. Обозначим величину каждого из этих равных углов буквой $\alpha$.

Тогда сумма его углов будет равна:

$\alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 4\alpha$

Так как мы знаем, что эта сумма должна быть равна $360^\circ$, мы можем составить следующее уравнение:

$4\alpha = 360^\circ$

Чтобы найти величину угла $\alpha$, разделим обе части уравнения на 4:

$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Таким образом, мы выяснили, что каждый угол данного четырехугольника равен $90^\circ$, то есть является прямым углом.

По определению, прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые.

Следовательно, четырехугольник, все углы которого равны между собой, действительно является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, а по условию все углы равны, то каждый угол равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником.

ду собой, является прямоугольником.

1.57. Докажите, что параллелограмм, две смежные стороны которого равны (они имеют общую вершину), является ромбом.

1.57. Для доказательства данного утверждения необходимо использовать определение и свойства параллелограмма, а также определение ромба.

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$ .

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Это означает, что:
$AB = CD$
$BC = AD$

По условию задачи, две смежные стороны параллелограмма равны. Смежные стороны имеют общую вершину. Возьмем, к примеру, стороны $AB$ и $AD$ , которые имеют общую вершину $A$ . Таким образом, по условию мы имеем:
$AB = AD$

Теперь мы можем объединить эти равенства. Мы знаем, что:
1. $AB = CD$ (противолежащие стороны)
2. $AD = BC$ (противолежащие стороны)
3. $AB = AD$ (смежные стороны по условию)

Из этих трех равенств, используя транзитивность (если $a=b$ и $b=c$ , то $a=c$ ), мы можем заключить, что все четыре стороны равны друг другу:
$AB = AD = BC = CD$

Четырехугольник, у которого все четыре стороны равны, по определению является ромбом. Так как наш параллелограмм $ABCD$ имеет все стороны равной длины, он является ромбом.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если в параллелограмме две смежные стороны равны (например, $AB=AD$), то, учитывая свойство равенства противолежащих сторон ($AB=CD$ и $AD=BC$), мы получаем, что все четыре стороны равны между собой: $AB=BC=CD=DA$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

1.58. Если диагонали параллелограмма:

а) взаимно перпендикулярны;

б) являются биссектрисами его углов, то он является ромбом. Докажите.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся определением ромба. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, чтобы доказать, что данный параллелограмм является ромбом, достаточно доказать равенство его смежных сторон.

а)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$, которые образуются при пересечении диагоналей.
1. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, а значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle BOC = 90^\circ$.
Из этого следует, что $\triangle AOB = \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = BC$.
Мы доказали, что смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны. Так как в параллелограмме противоположные стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Дано: $ABCD$ — параллелограмм. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, а диагональ $BD$ — биссектрисой угла $\angle B$.
Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:
Рассмотрим диагональ $AC$. По условию, она является биссектрисой угла $\angle A$ (угла $\angle BAD$). Это означает, что $\angle BAC = \angle CAD$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, т.е. $BC \parallel AD$.
Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении, равны: $\angle BCA = \angle CAD$.
Из двух равенств, $\angle BAC = \angle CAD$ (по условию) и $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы), следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как в нём два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $AB = BC$.
Мы доказали, что смежные стороны параллелограмма $ABCD$ равны. Этого достаточно, чтобы утверждать, что все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$).
Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.59. Всегда ли четырехугольник, диагонали которого равны и пер-пендикулярны, является ромбом?

Нет, не всегда. Четырехугольник, диагонали которого равны и перпендикулярны, не обязательно является ромбом.

Анализ определения ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делят друг друга пополам. Условие того, что четырехугольник является ромбом, можно сформулировать так: четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали являются перпендикулярными биссектрисами друг друга.

В условии задачи дано, что диагонали равны ($d_1 = d_2$) и перпендикулярны ($d_1 \perp d_2$), но не сказано, что они делят друг друга пополам в точке пересечения. Именно отсутствие этого условия и не позволяет однозначно утверждать, что такой четырехугольник — ромб. Если бы диагонали в точке пересечения делились пополам, то четырехугольник был бы ромбом (а с учетом их равенства — даже квадратом).

Построение контрпримера

Чтобы доказать, что утверждение не всегда верно, достаточно привести один контрпример. Построим четырехугольник, который удовлетворяет условиям задачи, но не является ромбом.
Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Пусть диагонали лежат на осях координат в декартовой системе: $AC$ на оси $OY$, а $BD$ на оси $OX$. Это гарантирует их перпендикулярность ($AC \perp BD$).
Зададим координаты вершин так, чтобы диагонали были равны, но не делили друг друга пополам.
Пусть длина каждой диагонали равна 4.
Для диагонали $AC$ выберем отрезки $AO = 1$ и $OC = 3$. Тогда $AC = AO + OC = 1 + 3 = 4$. Координаты вершин будут $A(0, 1)$ и $C(0, -3)$.
Для диагонали $BD$ выберем отрезки $BO = 3$ и $OD = 1$. Тогда $BD = BO + OD = 3 + 1 = 4$. Координаты вершин будут $B(3, 0)$ и $D(-1, 0)$.
Таким образом, мы получили четырехугольник $ABCD$ с равными ($AC = BD = 4$) и перпендикулярными диагоналями.

Теперь проверим, является ли он ромбом, для чего найдем длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(0-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$
$CD = \sqrt{(-1-0)^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(0-(-1))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Длины сторон четырехугольника равны $\sqrt{10}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{10}$ и $\sqrt{2}$. Поскольку не все стороны равны между собой, этот четырехугольник не является ромбом.

Ответ: Нет, не всегда.

1.60. Всегда ли четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом?

Нет, не всегда.

Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы все его четыре стороны были равны. Свойство перпендикулярности диагоналей является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был ромбом. Это означает, что у любого ромба диагонали действительно перпендикулярны, но обратное утверждение — что любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями является ромбом — неверно.

Чтобы доказать это, рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом ($AC \perp BD$). Это означает, что диагонали разбивают четырехугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Используя теорему Пифагора для каждого из этих треугольников, мы можем выразить квадраты длин сторон четырехугольника:

• $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• $AD^2 = DO^2 + AO^2$

По определению, четырехугольник $ABCD$ является ромбом, если все его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$. Это эквивалентно равенству квадратов их длин: $AB^2 = BC^2 = CD^2 = AD^2$.

Сравним квадраты длин соседних сторон:

Чтобы $AB = BC$, должно выполняться $AB^2 = BC^2$, то есть $AO^2 + BO^2 = BO^2 + CO^2$, что упрощается до $AO^2 = CO^2$ или $AO = CO$.

Чтобы $BC = CD$, должно выполняться $BC^2 = CD^2$, то есть $BO^2 + CO^2 = CO^2 + DO^2$, что упрощается до $BO^2 = DO^2$ или $BO = DO$.

Таким образом, для того чтобы все стороны четырехугольника с перпендикулярными диагоналями были равны, необходимо, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам ($AO = CO$ и $BO = DO$).

В условии задачи дано только, что диагонали перпендикулярны. Если при этом они не делят друг друга пополам, то стороны четырехугольника не будут равны.

Контрпример:

Простейшим примером четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, который не является ромбом, служит дельтоид (кайт). У дельтоида, который не является ромбом, диагонали перпендикулярны, но равны только пары смежных сторон, а не все четыре. Например, рассмотрим четырехугольник с вершинами в точках $A(0, 4)$, $B(-2, 0)$, $C(0, -3)$, $D(2, 0)$. Его диагональ $AC$ лежит на оси $OY$, а диагональ $BD$ — на оси $OX$. Они пересекаются в начале координат и перпендикулярны. Однако длины его сторон различны:

$AB = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

$BC = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

Поскольку $AB \neq BC$, этот четырехугольник не является ромбом.

Ответ: Нет, не всегда. Четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом только в том случае, если его диагонали также и точкой пересечения делятся пополам. В общем случае такой четырехугольник (ортодиагональный четырехугольник) не обязан быть ромбом, примером чего служит дельтоид.

1.61. При каких условиях фигура является:

1) параллелограммом;

2) прямоугольником;

3) четырехугольником?

При каких условиях ромб является квадратом?

1) параллелограммом:

Фигура является параллелограммом, если это четырехугольник, у которого выполняется один из следующих признаков:
а) Две его противолежащие стороны равны и параллельны.
б) Его противолежащие стороны попарно равны.
в) Его противолежащие углы попарно равны.
г) Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: две его противолежащие стороны равны и параллельны; противолежащие стороны попарно равны; противолежащие углы попарно равны; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2) прямоугольником:

Фигура является прямоугольником, если это четырехугольник, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).
Также параллелограмм становится прямоугольником, если выполняется одно из следующих условий:
а) Один из его углов прямой.
б) Его диагонали равны.

Ответ: Четырехугольник является прямоугольником, если все его углы прямые. Параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны или если один из его углов прямой.

3) четырехугольником:

Фигура является четырехугольником, если она представляет собой многоугольник, который имеет четыре вершины (точки) и четыре стороны (отрезка), последовательно соединяющие эти вершины. При этом должны выполняться условия:
а) Никакие три вершины не лежат на одной прямой.
б) Стороны не пересекаются, кроме как в вершинах.
Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

Ответ: Фигура является четырехугольником, если она состоит из четырех вершин, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырех сторон, последовательно их соединяющих.

При каких условиях ромб является квадратом?

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Чтобы ромб стал квадратом, ему необходимо приобрести свойства прямоугольника. Это происходит при выполнении одного из следующих условий:
а) Один из его углов является прямым ($90^\circ$). Так как у ромба противолежащие углы равны, а сумма соседних равна $180^\circ$, то если один угол прямой, все остальные углы также будут прямыми.
б) Его диагонали равны. У ромба диагонали всегда перпендикулярны. Если они к тому же становятся равными по длине, то такой ромб является квадратом.

Ответ: Ромб является квадратом, если один из его углов прямой ($90^\circ$) или если его диагонали равны.

1.62. Попробуйте перечислить несколько признаков прямоугольника и ромба.

Признаки прямоугольника

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма. Следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны, диагонали в точке пересечения делятся пополам). Однако существуют особые признаки, которые позволяют утверждать, что данный параллелограмм является прямоугольником.

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется одно из следующих условий:

1. Один из углов прямой. Если в параллелограмме хотя бы один угол равен $90^\circ$, то и остальные углы будут прямыми. Это следует из того, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$, а противоположные углы равны.

2. Диагонали равны. Если в параллелограмме диагонали имеют одинаковую длину, то такой параллелограмм является прямоугольником. Это можно доказать, рассмотрев равенство треугольников, на которые диагональ делит параллелограмм.

Также, по определению, любой четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: 1) Если в параллелограмме есть один прямой угол, то это прямоугольник. 2) Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Признаки ромба

Ромб, как и прямоугольник, является частным случаем параллелограмма и наследует все его свойства. Признаки, по которым можно определить, что данный параллелограмм является ромбом, следующие:

Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Две смежные стороны равны. По свойству параллелограмма противоположные стороны равны. Если равны и смежные стороны, значит, все четыре стороны равны между собой, что соответствует определению ромба.

2. Диагонали взаимно перпендикулярны. Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), то этот параллелограмм — ромб.

3. Диагонали являются биссектрисами его углов. Если хотя бы одна диагональ параллелограмма делит углы, из которых она выходит, пополам, то такой параллелограмм является ромбом.

Также, по определению, любой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: 1) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то это ромб. 2) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. 3) Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то это ромб.

1.63. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит его сторону пополам. Меньшая сторона этого прямоугольника равна 10 см (рис. 1.34). Найдите периметр прямоугольника.

Рис. 1.34

Пусть дан прямоугольник ABCD. Проведем биссектрису угла A, которая, согласно условию и рисунку, пересекает сторону BC в точке M.

Так как ABCD — это прямоугольник, то все его углы прямые, т.е. $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Поскольку AM — биссектриса угла A, она делит его на два равных угла:
$\angle BAM = \angle MAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая AM является секущей при этих параллельных прямых. Углы $\angle AMB$ и $\angle MAD$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны:
$\angle AMB = \angle MAD = 45^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. В этом треугольнике два угла равны: $\angle BAM = 45^\circ$ и $\angle AMB = 45^\circ$. Следовательно, треугольник ABM является равнобедренным, и его боковые стороны (стороны, лежащие напротив равных углов) равны:
$AB = BM$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону BC пополам. Это значит, что точка M является серединой отрезка BC, и $BM = MC$. Тогда длина всей стороны BC равна:
$BC = BM + MC = 2 \cdot BM$.

Из равенств $AB = BM$ и $BC = 2 \cdot BM$ следует, что $BC = 2 \cdot AB$. Это означает, что одна сторона прямоугольника вдвое больше другой. Соответственно, сторона AB является меньшей стороной прямоугольника.

По условию, меньшая сторона равна 10 см. Таким образом:
$AB = 10$ см.

Тогда большая сторона равна:
$BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a+b)$, где a и b — его смежные стороны. Подставим найденные значения сторон:
$P = 2(AB + BC) = 2(10 + 20) = 2 \cdot 30 = 60$ см.

Ответ: 60 см.