Страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Найдите все углы параллелограмма ABCD, если:

1) $ \angle A=80^{\circ} $

2) $ \angle B - \angle A = 30^{\circ} $

3) $ \angle A + \angle C = 140^{\circ} $

4) $ \angle B = 2 \angle A $

5) $ \angle ABD = 90^{\circ}, \angle ADB = 30^{\circ} $

1) В параллелограмме ABCD противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
По условию, $\angle A = 80^\circ$.
Противолежащий ему угол $\angle C$ также равен $80^\circ$: $\angle C = \angle A = 80^\circ$.
Угол, прилежащий к $\angle A$, например $\angle B$, можно найти из соотношения $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Противолежащий ему угол $\angle D$ также равен $100^\circ$: $\angle D = \angle B = 100^\circ$.
Ответ: $\angle A=80^\circ, \angle B=100^\circ, \angle C=80^\circ, \angle D=100^\circ$.

2) Нам даны два условия для углов $\angle A$ и $\angle B$:
1. Из условия задачи: $\angle B - \angle A = 30^\circ$.
2. Из свойства углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Получаем систему уравнений: $ \begin{cases} \angle B - \angle A = 30^\circ \\ \angle B + \angle A = 180^\circ \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(\angle B - \angle A) + (\angle B + \angle A) = 30^\circ + 180^\circ$.
$2\angle B = 210^\circ$, откуда $\angle B = 105^\circ$.
Подставим значение $\angle B$ во второе уравнение: $\angle A + 105^\circ = 180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
Так как противолежащие углы в параллелограмме равны: $\angle C = \angle A = 75^\circ$ и $\angle D = \angle B = 105^\circ$.
Ответ: $\angle A=75^\circ, \angle B=105^\circ, \angle C=75^\circ, \angle D=105^\circ$.

3) По условию $\angle A + \angle C = 140^\circ$.
В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle A = \angle C$.
Заменим $\angle C$ на $\angle A$ в данном уравнении:
$\angle A + \angle A = 140^\circ$
$2\angle A = 140^\circ$
$\angle A = 70^\circ$.
Следовательно, $\angle C = 70^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Противолежащий угол $\angle D$ равен $\angle B$, то есть $\angle D = 110^\circ$.
Ответ: $\angle A=70^\circ, \angle B=110^\circ, \angle C=70^\circ, \angle D=110^\circ$.

4) По условию $\angle B = 2\angle A$.
Используем свойство о сумме углов, прилежащих к одной стороне: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Подставим в это уравнение данное условие:
$\angle A + 2\angle A = 180^\circ$
$3\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 60^\circ$.
Тогда $\angle B = 2\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Противолежащие углы равны: $\angle C = \angle A = 60^\circ$ и $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Ответ: $\angle A=60^\circ, \angle B=120^\circ, \angle C=60^\circ, \angle D=120^\circ$.

5) Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$.
По условию дано, что $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ADB = 30^\circ$.
Подставим известные значения: $\angle A + 90^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.
$\angle A + 120^\circ = 180^\circ$.
$\angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем остальные углы параллелограмма ABCD.
Противолежащий угол $\angle C = \angle A = 60^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $\angle B + \angle A = 180^\circ$.
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Противолежащий угол $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Ответ: $\angle A=60^\circ, \angle B=120^\circ, \angle C=60^\circ, \angle D=120^\circ$.

1.27. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

1) $90^\circ$;

2) $120^\circ$;

3) $200^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма: противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Пусть в параллелограмме есть два разных угла $\alpha$ и $\beta$, которые являются соседними. Тогда в параллелограмме два угла равны $\alpha$ и два других равны $\beta$, при этом выполняется соотношение $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Сумма двух любых углов параллелограмма может быть либо суммой прилежащих углов ($\alpha + \beta = 180^\circ$), либо суммой противолежащих углов ($2\alpha$ или $2\beta$).

1) Сумма двух углов равна $90^\circ$.

Эта сумма не может быть суммой прилежащих углов, так как их сумма всегда равна $180^\circ$. Следовательно, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 90^\circ$
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
Итак, два противолежащих угла равны $45^\circ$. Найдем два других угла, которые являются смежными с найденными. Пусть второй угол равен $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

2) Сумма двух углов равна $120^\circ$.

Аналогично предыдущему пункту, это не может быть сумма прилежащих углов, поскольку $180^\circ \neq 120^\circ$. Значит, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 120^\circ$
$\alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Два противолежащих угла равны $60^\circ$. Найдем два других угла, смежных с ними, обозначив их $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
Углы параллелограмма равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

3) Сумма двух углов равна $200^\circ$.

Эта сумма не является суммой прилежащих углов, так как $180^\circ \neq 200^\circ$. Следовательно, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 200^\circ$
$\alpha = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ$
Два противолежащих угла равны $100^\circ$. Найдем два других угла, смежных с ними, обозначив их $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
Углы параллелограмма равны $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.

1.28. Найдите все углы параллелограмма, если разность двух из них равна:

1) $40^\circ$;

2) $80^\circ$;

3) $120^\circ$.

В параллелограмме есть две пары равных углов: противолежащие углы. Сумма углов, прилежащих к одной стороне (соседних), равна $180°$. Разность двух углов может быть отлична от нуля только в том случае, если это соседние углы, так как противолежащие углы равны, и их разность равна нулю.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два соседних угла параллелограмма. По свойству параллелограмма, их сумма равна $180°$.

1)

По условию, разность двух углов равна $40°$. Составим систему уравнений, где $\alpha$ и $\beta$ — искомые соседние углы:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 40° \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения:

$(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180° + 40°$

$2\beta = 220°$

$\beta = 110°$

Теперь найдем $\alpha$, подставив значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 110° = 180°$

$\alpha = 180° - 110°$

$\alpha = 70°$

В параллелограмме две пары равных углов. Следовательно, углы параллелограмма равны $70°, 110°, 70°, 110°$.

Ответ: $70°, 110°, 70°, 110°$.

2)

По условию, разность двух углов равна $80°$. Составим систему уравнений для соседних углов $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 80° \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\beta = 180° + 80°$

$2\beta = 260°$

$\beta = 130°$

Подставим значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 130° = 180°$

$\alpha = 180° - 130°$

$\alpha = 50°$

Таким образом, углы параллелограмма равны $50°, 130°, 50°, 130°$.

Ответ: $50°, 130°, 50°, 130°$.

3)

По условию, разность двух углов равна $120°$. Составим систему уравнений для соседних углов $\alpha$ и $\beta$:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \beta - \alpha = 120° \end{cases} $

Сложим уравнения:

$2\beta = 180° + 120°$

$2\beta = 300°$

$\beta = 150°$

Подставим значение $\beta$ в первое уравнение:

$\alpha + 150° = 180°$

$\alpha = 180° - 150°$

$\alpha = 30°$

Следовательно, углы параллелограмма равны $30°, 150°, 30°, 150°$.

Ответ: $30°, 150°, 30°, 150°$.

1.29. Две стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см. Чему равны две другие его стороны? Объясните ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством параллелограмма: у параллелограмма противолежащие стороны равны.

В условии даны две стороны параллелограмма — 10 см и 12 см. Поскольку длины этих сторон не равны ($10 \text{ см} \neq 12 \text{ см}$), они не могут быть противолежащими друг другу. Следовательно, эти стороны являются смежными, то есть имеют общую вершину.

Пусть у нас есть параллелограмм со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$. Пусть стороны $a$ и $b$ — это данные смежные стороны:

$a = 10$ см
$b = 12$ см

Третья сторона, $c$, будет противолежать стороне $a$. Согласно свойству параллелограмма, их длины равны:

$c = a = 10$ см

Четвертая сторона, $d$, будет противолежать стороне $b$. Соответственно, их длины также будут равны:

$d = b = 12$ см

Таким образом, две известные стороны — это 10 см и 12 см, а две другие, неизвестные стороны, — это также 10 см и 12 см.

Ответ: две другие стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см.

1.30. На диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ даны точки $P$ и $Q$ так, что $PB = QD$. Докажите, что четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Диагоналями четырехугольника $APCQ$ являются отрезки $AC$ и $PQ$.

Рассмотрим исходный параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой каждой из них. Таким образом, мы имеем:

$AO = OC$ (1)

$BO = OD$ (2)

Из условия задачи нам известно, что точки $P$ и $Q$ лежат на диагонали $BD$ и выполняется равенство $PB = QD$ (3).

Теперь докажем, что точка $O$ является также и серединой диагонали $PQ$. Для этого нужно показать, что $PO = QO$.

Рассмотрим отрезки $PO$ и $QO$. Длину отрезка $PO$ можно выразить как разность длин отрезков $BO$ и $PB$ (предполагая, что точка $P$ лежит между $B$ и $O$, а $Q$ — между $O$ и $D$). Получаем $PO = BO - PB$.

Аналогично, длину отрезка $QO$ можно выразить как разность длин отрезков $OD$ и $QD$. Получаем $QO = OD - QD$.

Используя равенства (2) и (3), сравним длины $PO$ и $QO$:

$PO = BO - PB$

$QO = OD - QD$

Поскольку $BO = OD$ и $PB = QD$, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части:

$PO = QO$

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $PQ$.

Таким образом, мы показали, что диагонали $AC$ и $PQ$ четырехугольника $APCQ$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них ($AO=OC$ и $PO=QO$).

Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $APCQ$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.31. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 5$ м. Точка $D$ выбрана на основании $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DE$ и $DF$ так, что $DE \parallel BC$ (где точка $E$ лежит на стороне $AB$) и $DF \parallel AB$ (где точка $F$ лежит на стороне $BC$).

Рассмотрим четырехугольник $EBFD$. По построению его противолежащие стороны параллельны: $DE \parallel BF$ (так как $DE \parallel BC$) и $DF \parallel EB$ (так как $DF \parallel AB$). Следовательно, четырехугольник $EBFD$ является параллелограммом по определению.

Периметр параллелограмма $EBFD$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{EBFD} = EB + BF + FD + DE$.

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Так как $DE \parallel BC$, то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle EDA = \angle BCA$. Учитывая равенство углов при основании треугольника $ABC$, получаем: $\angle EAD = \angle BAC = \angle BCA = \angle EDA$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ADE$ углы при стороне $AD$ равны, следовательно, треугольник $\triangle ADE$ — равнобедренный, и $AE = DE$.

Аналогично, так как $DF \parallel AB$, то соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle FDC = \angle BAC$. Поскольку $\angle FCD = \angle BCA = \angle BAC$, то в треугольнике $\triangle FDC$ углы при стороне $DC$ равны ($\angle FDC = \angle FCD$). Следовательно, треугольник $\triangle FDC$ — равнобедренный, и $DF = FC$.

Теперь вернемся к периметру параллелограмма. Мы знаем, что противолежащие стороны параллелограмма равны, то есть $DE = BF$ и $FD = EB$. Периметр можно выразить как $P_{EBFD} = 2(DE + EB)$.

Используя равенство $AE = DE$, которое мы доказали ранее, мы можем подставить $AE$ вместо $DE$ в выражение для периметра:

$P_{EBFD} = 2(AE + EB)$.

Из рисунка видно, что сумма отрезков $AE$ и $EB$ составляет боковую сторону $AB$ треугольника $\triangle ABC$: $AE + EB = AB$.

Таким образом, периметр параллелограмма равен удвоенной длине боковой стороны $AB$:

$P_{EBFD} = 2 \cdot AB = 2 \cdot 5 \text{ м} = 10$ м.

Другой способ рассуждения:

$P_{EBFD} = DE + EB + BF + FD$. Подставим $DE=AE$ и $FD=FC$:

$P_{EBFD} = AE + EB + BF + FC = (AE + EB) + (BF + FC) = AB + BC = 5 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10$ м.

Ответ: 10 м.

1.32. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 10 см, а периметр треугольника $ABD$ – 8 см. Какова длина диагонали $BD$?

Периметр параллелограмма $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), формула его периметра $P_{ABCD}$ выглядит так:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 2(AB + AD)$

Согласно условию, периметр параллелограмма равен 10 см. Используя эту информацию, мы можем найти сумму длин двух его смежных сторон:

$2(AB + AD) = 10$ см

$AB + AD = \frac{10}{2} = 5$ см

Периметр треугольника $ABD$ ($P_{ABD}$) равен сумме длин его сторон: $AB$, $AD$ и диагонали $BD$.

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

По условию, периметр треугольника $ABD$ равен 8 см. Мы можем подставить в эту формулу ранее найденную сумму сторон $AB + AD$:

$5 + BD = 8$ см

Теперь найдем длину диагонали $BD$, решив полученное уравнение:

$BD = 8 - 5$

$BD = 3$ см

Ответ: длина диагонали BD равна 3 см.

1.33. В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $BC$, а точка $F$ – середина стороны $AD$. Докажите, что четырехугольник $BEDF$ – параллелограмм.

По условию, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. По определению и свойствам параллелограмма, его противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, мы имеем два утверждения:
1. $BC = AD$
2. $BC \parallel AD$

Точка $E$ является серединой стороны $BC$, из этого следует, что длина отрезка $BE$ составляет половину длины стороны $BC$: $BE = \frac{1}{2}BC$.

Аналогично, точка $F$ является серединой стороны $AD$, поэтому длина отрезка $FD$ составляет половину длины стороны $AD$: $FD = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку $BC = AD$, то и их половины равны между собой: $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD$. Из этого следует, что $BE = FD$.

Так как стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), то и отрезки $BE$ и $FD$, которые лежат на этих сторонах (или их продолжениях), также параллельны: $BE \parallel FD$.

Рассмотрим четырехугольник $BEDF$. Мы установили, что его противолежащие стороны $BE$ и $FD$ равны ($BE = FD$) и параллельны ($BE \parallel FD$).

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, четырехугольник $BEDF$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом по признаку параллелограмма, так как его противолежащие стороны $BE$ и $FD$ равны и параллельны.

1.34. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, а $BD = 7 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника ABD.

Периметр параллелограмма $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон. По свойству параллелограмма его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), поэтому формула периметра выглядит так:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 2(AB + AD)$

По условию задачи, периметр параллелограмма равен 50 см. Используя эту информацию, мы можем найти сумму длин двух смежных сторон $AB$ и $AD$:

$2(AB + AD) = 50$ см

$AB + AD = \frac{50}{2}$ см

$AB + AD = 25$ см

Периметр треугольника $ABD$ равен сумме длин его сторон: $AB$, $AD$ и диагонали $BD$.

$P_{ABD} = AB + AD + BD$

Мы уже вычислили сумму сторон $AB + AD = 25$ см, а длина диагонали $BD$ дана в условии и составляет 7 см. Подставим известные значения в формулу периметра треугольника:

$P_{ABD} = 25 \text{ см} + 7 \text{ см} = 32$ см

Ответ: 32 см.

1.35. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$:

a) $ \angle BAC = \angle ACD, \Delta BAC = \Delta CDA; $

б) $AB \parallel CD, \angle A = \angle C$.

Докажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

а)

Чтобы доказать, что выпуклый четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом при заданных условиях, рассмотрим их по порядку.

1. Из условия $\angle BAC = \angle ACD$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Это связано с тем, что углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Равенство этих углов является признаком параллельности прямых, следовательно, $AB \parallel CD$.

2. Условие $\triangle BAC = \triangle CDA$ означает, что треугольники $BAC$ и $CDA$ конгруэнтны. При этом соответствие вершин следующее: $B \leftrightarrow C$, $A \leftrightarrow D$, $C \leftrightarrow A$. Из конгруэнтности треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае сторона $AB$ треугольника $BAC$ соответствует стороне $CD$ треугольника $CDA$. Таким образом, $AB = CD$.

3. Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и параллельны ($AB \parallel CD$). Согласно признаку параллелограмма, если в выпуклом четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как одна пара его противолежащих сторон ($AB$ и $CD$) одновременно равна и параллельна.

б)

Для доказательства того, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом при условиях $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, воспользуемся свойствами параллельных прямых и углов четырехугольника.

1. По условию $AB \parallel CD$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 180^\circ$.

2. По условию также известно, что $\angle A = \angle C$. Подставим $\angle C$ вместо $\angle A$ в равенство, полученное в предыдущем шаге. Получим: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $AD$, а также секущую $CD$. Углы $\angle C$ (или $\angle BCD$) и $\angle D$ (или $\angle ADC$) являются внутренними односторонними углами для этих прямых. Поскольку их сумма, как мы показали, равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ ($BC \parallel AD$).

4. В результате мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ обе пары противолежащих сторон параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). По определению, четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как обе пары его противолежащих сторон попарно параллельны.