Номер 1.27, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из них равна:

1) $90^\circ$;

2) $120^\circ$;

3) $200^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами углов параллелограмма: противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Пусть в параллелограмме есть два разных угла $\alpha$ и $\beta$, которые являются соседними. Тогда в параллелограмме два угла равны $\alpha$ и два других равны $\beta$, при этом выполняется соотношение $\alpha + \beta = 180^\circ$.
Сумма двух любых углов параллелограмма может быть либо суммой прилежащих углов ($\alpha + \beta = 180^\circ$), либо суммой противолежащих углов ($2\alpha$ или $2\beta$).

1) Сумма двух углов равна $90^\circ$.

Эта сумма не может быть суммой прилежащих углов, так как их сумма всегда равна $180^\circ$. Следовательно, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 90^\circ$
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
Итак, два противолежащих угла равны $45^\circ$. Найдем два других угла, которые являются смежными с найденными. Пусть второй угол равен $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$
Таким образом, углы параллелограмма равны $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.
Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

2) Сумма двух углов равна $120^\circ$.

Аналогично предыдущему пункту, это не может быть сумма прилежащих углов, поскольку $180^\circ \neq 120^\circ$. Значит, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 120^\circ$
$\alpha = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
Два противолежащих угла равны $60^\circ$. Найдем два других угла, смежных с ними, обозначив их $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
Углы параллелограмма равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.
Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

3) Сумма двух углов равна $200^\circ$.

Эта сумма не является суммой прилежащих углов, так как $180^\circ \neq 200^\circ$. Следовательно, это сумма двух равных противолежащих углов.
Пусть один из этих углов равен $\alpha$. Тогда:
$2\alpha = 200^\circ$
$\alpha = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ$
Два противолежащих угла равны $100^\circ$. Найдем два других угла, смежных с ними, обозначив их $\beta$.
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$
Углы параллелограмма равны $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.
Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 80^\circ, 100^\circ$.