Практическая работа, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Постройте эскиз параллелограмма. Проверьте измерением, используя: 1) признак 1; 2) признак 2; 3) признак 3.

2. Постройте треугольник. Дополните его до параллелограмма так, чтобы вершины треугольника были и вершинами параллелограмма. Сколько таких параллелограммов существует?

1. Постройте эскиз параллелограмма. Проверьте измерением, используя:

Для построения эскиза параллелограмма и его проверки потребуются чертежные инструменты: линейка, транспортир и циркуль.

1) признак 1

Формулировка признака: Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. С помощью линейки строим произвольный отрезок $AB$.
2. Через точку $A$ проводим произвольную прямую, не совпадающую с прямой $AB$, и откладываем на ней отрезок $AD$.
3. Через точку $D$ проводим прямую, параллельную прямой $AB$. Для этого можно построить с помощью транспортира и линейки угол, равный $\angle DAB$, так, чтобы он был внутренним накрест лежащим с $\angle ADС$ при секущей $AD$, или так, чтобы сумма внутренних односторонних углов $\angle DAB$ и $\angle ADC$ равнялась $180^\circ$.
4. На построенной параллельной прямой откладываем от точки $D$ отрезок $DC$, равный по длине отрезку $AB$, так, чтобы точки $B$ и $C$ лежали по одну сторону от прямой $AD$.
5. Соединяем точки $B$ и $C$. Четырехугольник $ABCD$ построен по двум равным и параллельным сторонам ($AB$ и $DC$).
Проверка измерением:
По построению мы имеем $AB \parallel DC$ и $AB = DC$. Для проверки, является ли полученная фигура параллелограммом, измерим с помощью линейки длины двух других сторон — $AD$ и $BC$. Если измерения с учетом погрешности покажут, что $AD = BC$, то четырехугольник является параллелограммом. Также можно измерить углы и убедиться, что противолежащие углы попарно равны ($\angle DAB = \angle BCD$ и $\angle ADC = \angle ABC$).
Ответ: Построен четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны; измерение показывает, что две другие стороны также равны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

2) признак 2

Формулировка признака: Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. Выбираем две произвольные длины для смежных сторон будущего параллелограмма, например, $a$ и $b$.
2. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной $a$.
3. С помощью циркуля строим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $b$.
4. С помощью циркуля строим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$.
5. На первой дуге (с центром в $A$) выбираем произвольную точку $D$. Получили две стороны $AB$ и $AD$.
6. Теперь нужно найти четвертую вершину $C$. Она должна находиться на расстоянии $b$ от точки $B$ и на расстоянии $a$ от точки $D$.
7. С помощью циркуля строим дугу с центром в точке $D$ радиусом $a$ ($=AB$).
8. Точка пересечения этой дуги с дугой, построенной из точки $B$ (с радиусом $b$), и будет четвертой вершиной $C$.
9. Соединяем точки $A, B, C, D$. По построению имеем $AB = DC = a$ и $AD = BC = b$.
Проверка измерением:
Чтобы проверить, является ли полученная фигура $ABCD$ параллелограммом, нужно проверить параллельность противолежащих сторон. С помощью транспортира измеряем углы. Например, можно измерить внутренние односторонние углы при секущей $AD$: $\angle DAB$ и $\angle ADC$. Если их сумма приблизительно равна $180^\circ$ ($\angle DAB + \angle ADC \approx 180^\circ$), то $AB \parallel DC$. Аналогично проверяем параллельность сторон $AD$ и $BC$.
Ответ: Построен четырехугольник с попарно равными противолежащими сторонами; измерение углов показывает, что противолежащие стороны параллельны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

3) признак 3

Формулировка признака: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. Проводим произвольный отрезок $AC$. С помощью линейки находим его середину — точку $O$.
2. Через точку $O$ проводим еще один произвольный отрезок $BD$ так, чтобы точка $O$ была и его серединой. Для этого откладываем от точки $O$ в разные стороны по лучам прямой $BD$ равные отрезки $OB$ и $OD$.
3. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ построен так, что его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC, BO=OD$).
Проверка измерением:
Чтобы проверить, что полученная фигура является параллелограммом, измерим с помощью линейки длины противолежащих сторон $AB$ и $DC$, а также $AD$ и $BC$. Если измерения покажут, что $AB = DC$ и $AD = BC$, то, согласно второму признаку, этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Построен четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам; измерение показывает, что противолежащие стороны попарно равны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

2. Постройте треугольник. Дополните его до параллелограмма так, чтобы вершины треугольника были и вершинами параллелограмма. Сколько таких параллелограммов существует?

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Нам нужно достроить его до параллелограмма, используя вершины $A$, $B$ и $C$. Параллелограмм имеет четыре вершины, значит, нам нужно найти положение четвертой вершины, назовем ее $D$. Существует три возможных способа это сделать, так как каждая из сторон треугольника может выступить в роли диагонали будущего параллелограмма.

Способ 1. Сторона $AC$ является диагональю параллелограмма $ABCD$.
В этом случае стороны треугольника $AB$ и $BC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $AD \parallel BC$ и $CD \parallel AB$.
Построение: Через вершину $A$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$. Через вершину $C$ проводим прямую, параллельную стороне $AB$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_1$. Получаем параллелограмм $ABCD_1$.

Способ 2. Сторона $AB$ является диагональю параллелограмма $ACBD$.
В этом случае стороны треугольника $AC$ и $BC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $AD \parallel CB$ и $BD \parallel AC$.
Построение: Через вершину $A$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$. Через вершину $B$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_2$. Получаем параллелограмм $ACBD_2$.

Способ 3. Сторона $BC$ является диагональю параллелограмма $ABDC$.
В этом случае стороны треугольника $AB$ и $AC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $BD \parallel AC$ и $CD \parallel AB$.
Построение: Через вершину $B$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$. Через вершину $C$ проводим прямую, параллельную стороне $AB$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_3$. Получаем параллелограмм $ABDC_3$.

Таким образом, для любого заданного треугольника существует ровно три различных способа дополнить его до параллелограмма. В каждом из них одна из сторон исходного треугольника становится диагональю, а две другие — смежными сторонами.

Ответ: Существует 3 таких параллелограмма.