Страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?

2. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

3. Сформулируйте признаки параллелограмма, докажите их.

4. Могут ли все углы параллелограмма быть острыми?

5. Может ли только один из углов параллелограмма быть прямым?

6. Могут ли два различных острых угла быть углами одного параллелограмма?

7. Какова связь между углами параллелограмма?

1. Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны. То есть, если в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а также стороны BC и AD параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Какие свойства параллелограмма вы знаете?

Основные свойства параллелограмма:

• Свойство сторон: В параллелограмме противолежащие стороны равны. Если ABCD – параллелограмм, то $AB = CD$ и $BC = AD$.
• Свойство углов: В параллелограмме противолежащие углы равны. Если ABCD – параллелограмм, то $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Свойство углов, прилежащих к одной стороне: Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
• Свойство диагоналей: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали AC и BD пересекаются в точке O, то $AO = OC$ и $BO = OD$.
• Свойство суммы квадратов диагоналей: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $d_1, d_2$ – длины диагоналей, а $a, b$ – длины смежных сторон.

Ответ: Свойства параллелограмма: противолежащие стороны равны; противолежащие углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$; диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Сформулируйте признаки параллелограмма, докажите их.

Признаки параллелограмма – это утверждения, которые позволяют сделать вывод, что четырехугольник является параллелограммом, на основе некоторых его свойств. Существует три основных признака.

Признак 1. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD сторона AB параллельна стороне CD и $AB = CD$. Проведем диагональ AC. Она делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.Рассмотрим эти треугольники. У них:

• $AB = CD$ по условию.
• AC – общая сторона.
• $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC. Из их равенства следует, что прямые BC и AD параллельны.Таким образом, в четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ по условию, $BC \parallel AD$ по доказанному), значит, ABCD – параллелограмм по определению.

Признак 2. Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

• $AB = CD$ по условию.
• $BC = DA$ по условию.
• AC – общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ – накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, значит, $AB \parallel CD$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ – накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC, значит, $BC \parallel AD$. Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны, ABCD – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и при этом $AO = OC$ и $BO = OD$.Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• $AO = OC$ по условию.
• $BO = OD$ по условию.
• $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. Углы $\angle OAB$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (он же $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Из их равенства следует, что $AB \parallel CD$.Итак, в четырехугольнике ABCD две стороны (AB и CD) равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, ABCD является параллелограммом.

Ответ: Признаки параллелограмма: 1) если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны; 2) если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны; 3) если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4. Могут ли все углы параллелограмма быть острыми?

Нет, не могут. Острый угол – это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника, включая параллелограмм, равна $360^\circ$.Если предположить, что все четыре угла параллелограмма острые, то их сумма будет меньше чем $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов четырехугольника. Следовательно, предположение неверно, и не все углы параллелограмма могут быть острыми.

Ответ: Нет, не могут, так как их сумма была бы меньше $360^\circ$.

5. Может ли только один из углов параллелограмма быть прямым?

Нет, не может. Прямой угол равен $90^\circ$. В параллелограмме есть два ключевых свойства, касающихся углов:

1. Противолежащие углы равны.
2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

Предположим, что один из углов, например $\angle A$, является прямым, то есть $\angle A = 90^\circ$.Согласно свойству 1, противолежащий ему угол $\angle C$ также должен быть равен $90^\circ$. Таким образом, у нас уже как минимум два прямых угла.Согласно свойству 2, угол, прилежащий к $\angle A$, например $\angle B$, должен в сумме с $\angle A$ давать $180^\circ$. То есть $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Противолежащий углу $\angle B$ угол $\angle D$ также будет равен $90^\circ$.Таким образом, если хотя бы один угол параллелограмма прямой, то и все остальные его углы тоже прямые. Такой параллелограмм является прямоугольником. Невозможно, чтобы только один угол был прямым.

Ответ: Нет, не может. Если один угол прямой, то все углы прямые.

6. Могут ли два различных острых угла быть углами одного параллелограмма?

Нет, не могут. У параллелограмма всего две различные величины углов (если он не является прямоугольником). Пусть это углы $\alpha$ и $\beta$. Эти углы являются соседними (прилежащими к одной стороне), а противолежащие им углы соответственно равны им. Таким образом, углы параллелограмма – это $\alpha, \beta, \alpha, \beta$.Сумма соседних углов равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$.Острый угол – это угол меньше $90^\circ$. Если предположить, что $\alpha$ – острый угол, то есть $\alpha < 90^\circ$, то для соседнего с ним угла $\beta$ получаем: $\beta = 180^\circ - \alpha$. Поскольку $\alpha < 90^\circ$, то $\beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. То есть угол $\beta$ будет тупым.Следовательно, в параллелограмме (не прямоугольнике) могут быть только два острых угла, и они будут равны друг другу (так как они противолежащие). Невозможно иметь два различных острых угла (например, $60^\circ$ и $70^\circ$) в одном параллелограмме.

Ответ: Нет, не могут. Острые углы в параллелограмме могут быть, но они всегда равны между собой.

7. Какова связь между углами параллелограмма?

Основные соотношения (связи) между углами параллелограмма ABCD следующие:

• Противоположные углы равны. Это означает, что угол при одной вершине равен углу при противоположной вершине: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Такие углы называются односторонними внутренними при параллельных прямых и секущей. Для любой стороны параллелограмма сумма прилежащих к ней углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$, $\angle B + \angle C = 180^\circ$, и т.д.

Из этих двух свойств следует, что в параллелограмме есть только две возможные величины углов (за исключением случая прямоугольника, где все углы по $90^\circ$). Если один из углов острый ($\alpha < 90^\circ$), то смежный с ним будет тупым ($\beta = 180^\circ - \alpha > 90^\circ$).

Ответ: Противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$.

Практическая работа

1. Постройте эскиз параллелограмма. Проверьте измерением, используя: 1) признак 1; 2) признак 2; 3) признак 3.

2. Постройте треугольник. Дополните его до параллелограмма так, чтобы вершины треугольника были и вершинами параллелограмма. Сколько таких параллелограммов существует?

1. Постройте эскиз параллелограмма. Проверьте измерением, используя:

Для построения эскиза параллелограмма и его проверки потребуются чертежные инструменты: линейка, транспортир и циркуль.

1) признак 1

Формулировка признака: Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. С помощью линейки строим произвольный отрезок $AB$.
2. Через точку $A$ проводим произвольную прямую, не совпадающую с прямой $AB$, и откладываем на ней отрезок $AD$.
3. Через точку $D$ проводим прямую, параллельную прямой $AB$. Для этого можно построить с помощью транспортира и линейки угол, равный $\angle DAB$, так, чтобы он был внутренним накрест лежащим с $\angle ADС$ при секущей $AD$, или так, чтобы сумма внутренних односторонних углов $\angle DAB$ и $\angle ADC$ равнялась $180^\circ$.
4. На построенной параллельной прямой откладываем от точки $D$ отрезок $DC$, равный по длине отрезку $AB$, так, чтобы точки $B$ и $C$ лежали по одну сторону от прямой $AD$.
5. Соединяем точки $B$ и $C$. Четырехугольник $ABCD$ построен по двум равным и параллельным сторонам ($AB$ и $DC$).
Проверка измерением:
По построению мы имеем $AB \parallel DC$ и $AB = DC$. Для проверки, является ли полученная фигура параллелограммом, измерим с помощью линейки длины двух других сторон — $AD$ и $BC$. Если измерения с учетом погрешности покажут, что $AD = BC$, то четырехугольник является параллелограммом. Также можно измерить углы и убедиться, что противолежащие углы попарно равны ($\angle DAB = \angle BCD$ и $\angle ADC = \angle ABC$).
Ответ: Построен четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны; измерение показывает, что две другие стороны также равны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

2) признак 2

Формулировка признака: Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. Выбираем две произвольные длины для смежных сторон будущего параллелограмма, например, $a$ и $b$.
2. С помощью линейки строим отрезок $AB$ длиной $a$.
3. С помощью циркуля строим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $b$.
4. С помощью циркуля строим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$.
5. На первой дуге (с центром в $A$) выбираем произвольную точку $D$. Получили две стороны $AB$ и $AD$.
6. Теперь нужно найти четвертую вершину $C$. Она должна находиться на расстоянии $b$ от точки $B$ и на расстоянии $a$ от точки $D$.
7. С помощью циркуля строим дугу с центром в точке $D$ радиусом $a$ ($=AB$).
8. Точка пересечения этой дуги с дугой, построенной из точки $B$ (с радиусом $b$), и будет четвертой вершиной $C$.
9. Соединяем точки $A, B, C, D$. По построению имеем $AB = DC = a$ и $AD = BC = b$.
Проверка измерением:
Чтобы проверить, является ли полученная фигура $ABCD$ параллелограммом, нужно проверить параллельность противолежащих сторон. С помощью транспортира измеряем углы. Например, можно измерить внутренние односторонние углы при секущей $AD$: $\angle DAB$ и $\angle ADC$. Если их сумма приблизительно равна $180^\circ$ ($\angle DAB + \angle ADC \approx 180^\circ$), то $AB \parallel DC$. Аналогично проверяем параллельность сторон $AD$ и $BC$.
Ответ: Построен четырехугольник с попарно равными противолежащими сторонами; измерение углов показывает, что противолежащие стороны параллельны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

3) признак 3

Формулировка признака: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Построение:
1. Проводим произвольный отрезок $AC$. С помощью линейки находим его середину — точку $O$.
2. Через точку $O$ проводим еще один произвольный отрезок $BD$ так, чтобы точка $O$ была и его серединой. Для этого откладываем от точки $O$ в разные стороны по лучам прямой $BD$ равные отрезки $OB$ и $OD$.
3. Последовательно соединяем точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ построен так, что его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC, BO=OD$).
Проверка измерением:
Чтобы проверить, что полученная фигура является параллелограммом, измерим с помощью линейки длины противолежащих сторон $AB$ и $DC$, а также $AD$ и $BC$. Если измерения покажут, что $AB = DC$ и $AD = BC$, то, согласно второму признаку, этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Построен четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам; измерение показывает, что противолежащие стороны попарно равны, что подтверждает, что фигура является параллелограммом.

2. Постройте треугольник. Дополните его до параллелограмма так, чтобы вершины треугольника были и вершинами параллелограмма. Сколько таких параллелограммов существует?

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Нам нужно достроить его до параллелограмма, используя вершины $A$, $B$ и $C$. Параллелограмм имеет четыре вершины, значит, нам нужно найти положение четвертой вершины, назовем ее $D$. Существует три возможных способа это сделать, так как каждая из сторон треугольника может выступить в роли диагонали будущего параллелограмма.

Способ 1. Сторона $AC$ является диагональю параллелограмма $ABCD$.
В этом случае стороны треугольника $AB$ и $BC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $AD \parallel BC$ и $CD \parallel AB$.
Построение: Через вершину $A$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$. Через вершину $C$ проводим прямую, параллельную стороне $AB$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_1$. Получаем параллелограмм $ABCD_1$.

Способ 2. Сторона $AB$ является диагональю параллелограмма $ACBD$.
В этом случае стороны треугольника $AC$ и $BC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $AD \parallel CB$ и $BD \parallel AC$.
Построение: Через вершину $A$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$. Через вершину $B$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_2$. Получаем параллелограмм $ACBD_2$.

Способ 3. Сторона $BC$ является диагональю параллелограмма $ABDC$.
В этом случае стороны треугольника $AB$ и $AC$ будут смежными сторонами параллелограмма. Четвертая вершина $D$ должна быть такой, чтобы $BD \parallel AC$ и $CD \parallel AB$.
Построение: Через вершину $B$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$. Через вершину $C$ проводим прямую, параллельную стороне $AB$. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной $D_3$. Получаем параллелограмм $ABDC_3$.

Таким образом, для любого заданного треугольника существует ровно три различных способа дополнить его до параллелограмма. В каждом из них одна из сторон исходного треугольника становится диагональю, а две другие — смежными сторонами.

Ответ: Существует 3 таких параллелограмма.