Страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая фигура называется многоугольником? Назовите его элементы.

2. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника?

3. Какая фигура называется выпуклым четырехугольником? Назовите и покажите его элементы.

4. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.

1. Какая фигура называется многоугольником? Назовите его элементы.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная линия. Иными словами, это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, звенья которой не пересекаются. Многоугольники называют по количеству их углов (или сторон), например: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д.

Основными элементами многоугольника являются:

• Вершины — это точки, в которых соединяются два звена ломаной (стороны).
• Стороны — это отрезки, образующие ломаную линию, которая ограничивает многоугольник.
• Углы (внутренние углы) — это углы, образованные двумя смежными сторонами в вершине многоугольника, внутри его области.
• Диагонали — это отрезки, соединяющие две любые несоседние вершины многоугольника.

Ответ: Многоугольник — это фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Его элементы: вершины, стороны, углы и диагонали.

2. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника зависит от количества его сторон (или углов). Если число сторон многоугольника равно $n$, то сумму его внутренних углов $S$ можно найти по формуле:

$S = (n-2) \times 180^\circ$

где $n$ — количество сторон (и вершин) многоугольника. Эта формула справедлива для любого выпуклого многоугольника с $n \ge 3$. Например, для треугольника ($n=3$) сумма углов равна $(3-2) \times 180^\circ = 180^\circ$. Для четырехугольника ($n=4$) сумма углов равна $(4-2) \times 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \times 180^\circ$.

3. Какая фигура называется выпуклым четырехугольником? Назовите и покажите его элементы.

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Другими словами, все его внутренние углы меньше $180^\circ$, и любая из его диагоналей полностью лежит внутри четырехугольника.

Рассмотрим для примера выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его элементами являются:

• Вершины: четыре точки, являющиеся концами его сторон. В нашем случае это точки $A$, $B$, $C$, $D$.
• Стороны: четыре отрезка, соединяющие последовательные вершины. В нашем случае это стороны $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.
• Углы: четыре внутренних угла при вершинах. В нашем случае это углы $\angle{A}$ (или $\angle{DAB}$), $\angle{B}$ (или $\angle{ABC}$), $\angle{C}$ (или $\angle{BCD}$), $\angle{D}$ (или $\angle{CDA}$).
• Диагонали: два отрезка, соединяющие противолежащие вершины. В нашем случае это диагонали $AC$ и $BD$.

Ответ: Выпуклый четырехугольник — это четырехугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой из его сторон. Его элементы — 4 вершины, 4 стороны, 4 угла и 2 диагонали.

4. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

Дано: Выпуклый $n$-угольник.

Доказать: Сумма его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый многоугольник с $n$ сторонами. Пусть его внутренние углы равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

Внешний угол при любой вершине многоугольника является смежным с внутренним углом при этой же вершине. Обозначим внешние углы, взятые по одному при каждой вершине, как $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$.

По определению смежных углов, сумма внутреннего и соответствующего ему внешнего угла равна $180^\circ$. То есть для каждой $i$-ой вершины ($i$ от 1 до $n$) справедливо равенство:

$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$

Чтобы найти сумму всех внешних углов, просуммируем эти равенства для всех $n$ вершин:

$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ$

$(\alpha_1 + \beta_1) + (\alpha_2 + \beta_2) + \dots + (\alpha_n + \beta_n) = n \cdot 180^\circ$

Сгруппируем слагаемые:

$(\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n) + (\beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n) = n \cdot 180^\circ$

Первая скобка представляет собой сумму внутренних углов выпуклого $n$-угольника, которая, как известно, равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Обозначим сумму внешних углов как $S_{внешн} = \beta_1 + \beta_2 + \dots + \beta_n$.

Подставим известное значение суммы внутренних углов в наше уравнение:

$(n-2) \cdot 180^\circ + S_{внешн} = n \cdot 180^\circ$

Выразим отсюда $S_{внешн}$:

$S_{внешн} = n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ$

Вынесем $180^\circ$ за скобки:

$S_{внешн} = (n - (n-2)) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = (n - n + 2) \cdot 180^\circ$

$S_{внешн} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа его сторон и всегда равна $360^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

Практическая работа

1. Постройте выпуклый: 1) пятиугольник; 2) шестиугольник. Укажите их элементы.

2. Постройте произвольный четырехугольник $A B C D$, укажите его противоположные стороны и углы.

3. Постройте четырехугольник $A B C D$, проведите его диагонали. Запишите все треугольники, которые при этом получились.

1. 1) Построим выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Элементами многоугольника являются его вершины, стороны и углы.
Для пятиугольника $ABCDE$ элементами являются:
• Вершины: 5 точек, которые являются концами сторон ($A, B, C, D, E$).
• Стороны: 5 отрезков, соединяющих соседние вершины ($AB, BC, CD, DE, EA$).
• Углы: 5 внутренних углов, образованных соседними сторонами ($\angle A, \angle B, \angle C, \angle D, \angle E$).

2) Построим выпуклый шестиугольник $FGHIJK$. Его элементы аналогичны элементам пятиугольника.
Элементы шестиугольника $FGHIJK$:
• Вершины: 6 точек ($F, G, H, I, J, K$).
• Стороны: 6 отрезков ($FG, GH, HI, IJ, JK, KF$).
• Углы: 6 внутренних углов ($\angle F, \angle G, \angle H, \angle I, \angle J, \angle K$).

Ответ: Элементами выпуклого пятиугольника являются 5 вершин, 5 сторон и 5 углов. Элементами выпуклого шестиугольника являются 6 вершин, 6 сторон и 6 углов.

2. Построим произвольный четырехугольник $ABCD$.

• Противоположные стороны — это две стороны, которые не имеют общей вершины. В четырехугольнике $ABCD$ есть две пары противоположных сторон: $AB$ и $CD$; $BC$ и $AD$.
• Противоположные углы — это два угла, вершины которых не являются соседними. В четырехугольнике $ABCD$ есть две пары противоположных углов: $\angle A$ и $\angle C$; $\angle B$ и $\angle D$.

Ответ: В четырехугольнике $ABCD$ противоположными сторонами являются пары ($AB$ и $CD$), ($BC$ и $AD$); противоположными углами являются пары ($\angle A$ и $\angle C$), ($\angle B$ и $\angle D$).

3. Построим четырехугольник $ABCD$ и проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$. Пусть точка их пересечения будет $O$. В результате этого построения образуется 8 различных треугольников.

Перечислим все получившиеся треугольники:
1. Четыре треугольника, образованные отрезками диагоналей и сторонами четырехугольника: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$.
2. Четыре треугольника, каждый из которых образован двумя сторонами четырехугольника и одной из его диагоналей:
- с диагональю $AC$: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
- с диагональю $BD$: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

Ответ: При проведении диагоналей в четырехугольнике $ABCD$ образуются 8 треугольников: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA, \triangle ABC, \triangle ADC, \triangle ABD, \triangle BCD$.

1.1. Углы выпуклого четырехугольника равны между собой. Найдите эти углы.

1.1. Сумма внутренних углов любого выпуклого многоугольника определяется по формуле $S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — это количество сторон (и углов) многоугольника.

Для выпуклого четырехугольника количество сторон $n=4$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти сумму его внутренних углов:

$S_4 = (4 - 2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Согласно условию задачи, все четыре угла данного четырехугольника равны между собой. Обозначим величину каждого угла как $\alpha$.

Следовательно, сумма всех углов может быть выражена как $4\alpha$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв сумму углов к вычисленному значению:

$4\alpha = 360^\circ$

Для того чтобы найти величину одного угла, решим это уравнение относительно $\alpha$:

$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Таким образом, каждый угол данного выпуклого четырехугольника составляет $90^\circ$.
Ответ: каждый угол равен $90^\circ$.

1.2. Найдите углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 2, 2, 4, 5, 5.

1.2. Сначала найдем сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника. Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$. Для пятиугольника, где число сторон $n=5$, сумма углов будет равна:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

В условии задачи сказано, что углы пятиугольника (которых 5) пропорциональны четырем числам: 2, 4, 5, 5. Это, скорее всего, опечатка, так как для пяти углов должно быть пять чисел в пропорции. Для решения задачи предположим, что пропущено одно из чисел, и полная пропорция выглядит как 2:2:4:5:5. Это предположение позволяет получить целочисленное решение.

Пусть $k$ — это коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры углов можно записать как $2k, 2k, 4k, 5k$ и $5k$. Их сумма должна равняться $540^\circ$. Составим и решим уравнение:

$2k + 2k + 4k + 5k + 5k = 540^\circ$

$(2+2+4+5+5)k = 540^\circ$

$18k = 540^\circ$

$k = \frac{540^\circ}{18} = 30^\circ$

Теперь вычислим величину каждого угла, умножив соответствующую часть пропорции на найденный коэффициент $k=30^\circ$:

• Первый угол: $2k = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
• Второй угол: $2k = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
• Третий угол: $4k = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
• Четвертый угол: $5k = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$
• Пятый угол: $5k = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Проверка: $60^\circ + 60^\circ + 120^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 540^\circ$. Условие выполняется, и все углы меньше $180^\circ$, что соответствует выпуклому пятиугольнику.

Ответ: углы выпуклого пятиугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ, 150^\circ$.

1.3. Чему равна сумма углов выпуклого: а) десятиугольника; б) двенадцатиугольника?

Для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника используется формула:

$S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ$,

где $n$ — количество сторон многоугольника.

а) Для выпуклого десятиугольника количество сторон $n = 10$.

Подставим значение $n=10$ в формулу:

$S_{10} = (10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$.

Ответ: $1440^\circ$.

б) Для выпуклого двенадцатиугольника количество сторон $n = 12$.

Подставим значение $n=12$ в формулу:

$S_{12} = (12 - 2) \cdot 180^\circ = 10 \cdot 180^\circ = 1800^\circ$.

Ответ: $1800^\circ$.

1.4. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его углов равна:

1) $1080^\circ$;

2) $1620^\circ$;

3) $3960^\circ$;

4) $1800^\circ$?

Для решения этой задачи используется формула суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. Сумма углов $S$ многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле:

$S = (n - 2) \cdot 180^\circ$

Чтобы найти количество сторон $n$, зная сумму углов $S$, необходимо выразить $n$ из этой формулы:

$\frac{S}{180^\circ} = n - 2$

$n = \frac{S}{180^\circ} + 2$

Теперь применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

1) Если сумма углов равна $1080^\circ$:

Подставляем значение $S = 1080^\circ$ в формулу:

$n = \frac{1080^\circ}{180^\circ} + 2 = 6 + 2 = 8$

Следовательно, многоугольник имеет 8 сторон.

Ответ: 8 сторон.

2) Если сумма углов равна $1620^\circ$:

Подставляем значение $S = 1620^\circ$ в формулу:

$n = \frac{1620^\circ}{180^\circ} + 2 = 9 + 2 = 11$

Следовательно, многоугольник имеет 11 сторон.

Ответ: 11 сторон.

3) Если сумма углов равна $3960^\circ$:

Подставляем значение $S = 3960^\circ$ в формулу:

$n = \frac{3960^\circ}{180^\circ} + 2 = 22 + 2 = 24$

Следовательно, многоугольник имеет 24 стороны.

Ответ: 24 стороны.

4) Если сумма углов равна $1800^\circ$:

Подставляем значение $S = 1800^\circ$ в формулу:

$n = \frac{1800^\circ}{180^\circ} + 2 = 10 + 2 = 12$

Следовательно, многоугольник имеет 12 сторон.

Ответ: 12 сторон.

1.5. Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый его угол равен: 1) $144^\circ$; 2) $150^\circ$; 3) $170^\circ$; 4) $171^\circ$?

Поскольку в условии сказано, что каждый угол многоугольника равен определенной величине, речь идет о правильном многоугольнике. Для нахождения количества его сторон можно воспользоваться свойством внешних углов.
Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$.
Внешний угол $\beta$ правильного многоугольника можно найти, зная его внутренний угол $\alpha$, по формуле: $\beta = 180^\circ - \alpha$.
Количество сторон $n$ (которое равно количеству углов) находится делением $360^\circ$ на величину внешнего угла: $n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

1) Если каждый угол равен $144^\circ$:
Внутренний угол $\alpha = 144^\circ$.
Найдем внешний угол: $\beta = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Найдем количество сторон: $n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$.
Ответ: 10.

2) Если каждый угол равен $150^\circ$:
Внутренний угол $\alpha = 150^\circ$.
Найдем внешний угол: $\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Найдем количество сторон: $n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$.
Ответ: 12.

3) Если каждый угол равен $170^\circ$:
Внутренний угол $\alpha = 170^\circ$.
Найдем внешний угол: $\beta = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$.
Найдем количество сторон: $n = \frac{360^\circ}{10^\circ} = 36$.
Ответ: 36.

4) Если каждый угол равен $171^\circ$:
Внутренний угол $\alpha = 171^\circ$.
Найдем внешний угол: $\beta = 180^\circ - 171^\circ = 9^\circ$.
Найдем количество сторон: $n = \frac{360^\circ}{9^\circ} = 40$.
Ответ: 40.

1.6. Существует ли многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $9180^\circ$;

2) $3600^\circ$;

3) $2040^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для нахождения суммы внутренних углов выпуклого n-угольника:

$S = (n-2) \cdot 180°$

где $S$ – это сумма углов, а $n$ – количество сторон (и углов) многоугольника.

Чтобы многоугольник существовал, количество его сторон $n$ должно быть целым числом, причем $n \ge 3$.

Выразим $n$ из данной формулы:

$n - 2 = \frac{S}{180°}$

$n = \frac{S}{180°} + 2$

Теперь мы можем проверить каждое из предложенных значений суммы углов.

1) 9180°

Подставим $S = 9180°$ в нашу формулу для $n$:

$n = \frac{9180°}{180°} + 2$

$n = \frac{918}{18} + 2$

$n = 51 + 2 = 53$

Поскольку мы получили целое число $n = 53$, которое больше или равно 3, то многоугольник с такой суммой углов существует. Это 53-угольник.

Ответ: да, существует.

2) 3600°

Подставим $S = 3600°$ в формулу для $n$:

$n = \frac{3600°}{180°} + 2$

$n = \frac{360}{18} + 2$

$n = 20 + 2 = 22$

Мы получили целое число $n = 22$, которое больше или равно 3. Следовательно, такой многоугольник (22-угольник) существует.

Ответ: да, существует.

3) 2040°

Подставим $S = 2040°$ в формулу для $n$:

$n = \frac{2040°}{180°} + 2$

$n = \frac{204}{18} + 2$

Сократим дробь $\frac{204}{18}$ на 6:

$n = \frac{34}{3} + 2$

$n = 11\frac{1}{3} + 2 = 13\frac{1}{3}$

Поскольку количество сторон $n$ получилось нецелым числом, многоугольника с такой суммой углов не существует.

Ответ: нет, не существует.