Страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. На рис. 0.31 BD и CE – биссектрисы треугольника, $PQ \parallel BC$. Докажите, что выполняется равенство $PQ = PB + CQ$.

Рис. 0.31

Рассмотрим треугольник $PBO$. По условию, $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, следовательно, $\angle PBO = \angle OBC$. Так как прямая $PQ$ параллельна прямой $BC$ ($PQ \parallel BC$) и $BO$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle POB = \angle OBC$. Из этих двух равенств следует, что $\angle PBO = \angle POB$. Таким образом, треугольник $PBO$ является равнобедренным с основанием $BO$, и, следовательно, $PB = PO$.

Аналогично рассмотрим треугольник $QCO$. По условию, $CE$ является биссектрисой угла $ACB$, следовательно, $\angle QCO = \angle OCB$. Так как $PQ \parallel BC$ и $CO$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle QOC = \angle OCB$. Отсюда следует, что $\angle QCO = \angle QOC$. Таким образом, треугольник $QCO$ является равнобедренным с основанием $CO$, и, следовательно, $CQ = QO$.

Отрезок $PQ$ состоит из двух отрезков $PO$ и $OQ$, поэтому его длина равна их сумме: $PQ = PO + OQ$. Заменив $PO$ на равный ему отрезок $PB$ и $QO$ на равный ему отрезок $CQ$ на основании доказанного выше, получаем искомое равенство: $PQ = PB + CQ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $PQ = PB + CQ$ доказано.

0.21. Прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно его основанию, является биссектрисой внешнего угла треугольника при той же вершине. Докажите это.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть через вершину $B$ проведена прямая $m$, параллельная основанию $AC$.

Для доказательства построим внешний угол при вершине $B$. Продлим сторону $CB$ за точку $B$ до точки $D$. Таким образом, внешний угол треугольника при вершине $B$ — это угол $\angle ABD$. Прямая $m$ проходит через вершину $B$ и делит этот внешний угол на два угла. Обозначим на прямой $m$ точку $E$ так, чтобы она находилась по ту же сторону от прямой $CD$, что и точка $A$. Нам нужно доказать, что луч $BE$ является биссектрисой угла $\angle ABD$, то есть что $\angle ABE = \angle EBD$.

Доказательство состоит из следующих шагов:

1. Так как прямая $m$ (которая содержит луч $BE$) параллельна прямой $AC$ ($m \parallel AC$), а прямая $AB$ является секущей, то накрест лежащие углы равны:
   $\angle ABE = \angle BAC$.
2. Рассмотрим те же параллельные прямые $m$ и $AC$, но в качестве секущей возьмем прямую $CD$. Углы $\angle EBD$ и $\angle BCA$ являются соответственными углами. Следовательно, они равны:
   $\angle EBD = \angle BCA$.
3. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. В треугольнике $ABC$ основанием является $AC$, поэтому:
   $\angle BAC = \angle BCA$.
4. Теперь сопоставим полученные равенства. Из шагов 1 и 2 мы имеем $\angle ABE = \angle BAC$ и $\angle EBD = \angle BCA$. Так как, согласно шагу 3, $\angle BAC = \angle BCA$, то мы можем сделать вывод, что:
   $\angle ABE = \angle EBD$.

Поскольку прямая $m$ (а именно, луч $BE$) делит внешний угол $\angle ABD$ на два равных угла ($\angle ABE$ и $\angle EBD$), она является его биссектрисой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

0.22. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ к стороне $BC$ проведены прямые $AD$ и $AE$. Одна из них образует со стороной $AB$ угол, равный углу $\angle C$, а другая – со стороной $AC$ угол, равный углу $\angle B$. Докажите, что треугольник $ADE$ – равнобедренный (рис. 0.32).

Рис. 0.32

Для доказательства того, что треугольник $ADE$ является равнобедренным, мы докажем, что его стороны $AD$ и $AE$ равны. Воспользуемся теоремой синусов.

Рассмотрим треугольник $ABE$. По теореме синусов имеем соотношение:

$\frac{AE}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle AEB)}$

Отсюда выразим сторону $AE$:

$AE = AB \cdot \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle AEB)}$

Угол $\angle AEB$ смежный с углом $\angle AEC$, поэтому $\sin(\angle AEB) = \sin(\angle AEC)$. Найдем угол $\angle AEC$ из треугольника $ACE$. Сумма углов в треугольнике $ACE$ равна $180^\circ$:

$\angle AEC + \angle EAC + \angle ACE = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle EAC = \angle B$ и $\angle ACE = \angle C$. Подставив эти значения, получаем:

$\angle AEC = 180^\circ - \angle B - \angle C$

Из основного треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда следует, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Таким образом, $\angle AEC = 180^\circ - (180^\circ - \angle A) = \angle A$.

Следовательно, $\sin(\angle AEB) = \sin(\angle AEC) = \sin(\angle A)$. Подставим это в выражение для $AE$:

$AE = AB \cdot \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)}$

Используя стандартные обозначения сторон ($AB=c$), получаем:

$AE = \frac{c \sin B}{\sin A}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Этот путь менее удобен. Рассмотрим треугольник $ADC$:

$\frac{AD}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Выразим сторону $AD$:

$AD = AC \cdot \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle ADC)}$

Угол $\angle ADC$ является внешним для треугольника $ABD$. Поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ADC = \angle B + \angle BAD$

По условию, $\angle BAD = \angle C$. Значит, $\angle ADC = \angle B + \angle C$.

Как мы уже установили, $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Следовательно, $\sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$.

Подставим это в выражение для $AD$ (используя стандартное обозначение $AC=b$):

$AD = \frac{b \sin C}{\sin A}$

Теперь у нас есть выражения для длин сторон $AD$ и $AE$. Чтобы доказать, что $AD=AE$, нам нужно показать, что равны и правые части выражений:

$\frac{c \sin B}{\sin A} = \frac{b \sin C}{\sin A}$

Это равенство эквивалентно равенству $c \sin B = b \sin C$.

Вспомним теорему синусов для основного треугольника $ABC$:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Из этого соотношения, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), мы получаем $b \sin C = c \sin B$.

Равенство доказано, следовательно, $AD = AE$. Поскольку две стороны треугольника $ADE$ равны, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано, треугольник $ADE$ является равнобедренным.

0.23. Найдите сумму внутренних углов фигур

(рис. 0.33).

а)

б)

Рис. 0.33

а)

Сумма внутренних углов многоугольника находится по формуле $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон (или углов) многоугольника.

Фигура, изображенная на рисунке а), является шестиугольником, так как у нее 6 сторон и 6 углов. Таким образом, для этой фигуры $n = 6$.

Подставим это значение в формулу:
$S = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

б)

Для решения используем ту же формулу для суммы внутренних углов многоугольника: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Фигура на рисунке б) также является шестиугольником, поскольку у нее 6 сторон и 6 углов. Следовательно, $n = 6$.

Подставим значение $n$ в формулу:
$S = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

0.24. Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ и $B$ — концы хорды, длина которой по условию задачи равна радиусу, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $ΔOAB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$. Таким образом, мы имеем $OA = OB = AB = R$. Это означает, что треугольник $ΔOAB$ является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60°$. Следовательно, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $∠AOB = 60°$.

Теперь проведем касательные к окружности в точках $A$ и $B$. Пусть эти касательные пересекаются в точке $C$. Угол между этими касательными — это угол $∠ACB$.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$, а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BC$. Отсюда следует, что углы $∠OAC$ и $∠OBC$ являются прямыми:
$∠OAC = 90°$
$∠OBC = 90°$

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360°$. В нашем случае:
$∠AOB + ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 360°$

Подставим известные значения углов в это равенство:
$60° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°$
$240° + ∠ACB = 360°$

Отсюда находим угол $∠ACB$:
$∠ACB = 360° - 240° = 120°$

При пересечении двух прямых образуются две пары смежных углов, которые в сумме дают $180°$. Один из углов пересечения наших касательных равен $120°$. Второй, смежный с ним, равен:
$180° - 120° = 60°$

Таким образом, прямые пересекаются под углами $120°$ и $60°$.

Ответ: $60°$ и $120°$.

0.25. Постройте треугольник, зная его угол, биссектрису и высоту, выходящие из вершины этого угла.

Для решения задачи построения треугольника по углу, биссектрисе и высоте, выходящим из вершины этого угла, будем использовать метод анализа, который приведет нас к алгоритму построения.

Пусть даны угол величиной $\alpha$, отрезок длиной $l_a$ (биссектриса) и отрезок длиной $h_a$ (высота).

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $\angle BAC = \alpha$, $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$, и $AL$ — биссектриса угла $\angle BAC$. По условию, $AH = h_a$ и $AL = l_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHL$. В этом треугольнике:

• Катет $AH$ равен заданной высоте $h_a$.
• Гипотенуза $AL$ равна заданной биссектрисе $l_a$.
• Вершина $A$ — это вершина заданного угла треугольника.
• Точки $H$ (основание высоты) и $L$ (основание биссектрисы) лежат на прямой, содержащей сторону $BC$.

Мы можем построить треугольник $AHL$ по катету и гипотенузе. Это построение возможно, если гипотенуза не меньше катета, то есть $l_a \ge h_a$.

После построения треугольника $AHL$ мы будем знать положение вершины $A$, а также прямой, на которой лежит сторона $BC$ (это прямая $HL$).

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, то она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL = \alpha/2$. Зная положение луча $AL$ и величину угла $\alpha/2$, мы можем построить лучи $AB$ и $AC$, отложив от луча $AL$ в разные стороны углы, равные $\alpha/2$.

Вершины $B$ и $C$ будут лежать на пересечении построенных лучей $AB$ и $AC$ с прямой $HL$. Таким образом, треугольник $ABC$ будет построен.

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в несколько этапов:

1. Построение прямоугольного треугольника $AHL$.
   1. Проводим произвольную прямую $p$. Эта прямая будет содержать сторону $BC$ искомого треугольника.
   2. Выбираем на прямой $p$ произвольную точку $H$.
   3. Через точку $H$ проводим прямую $q$, перпендикулярную прямой $p$.
   4. На прямой $q$ откладываем отрезок $HA$ длиной $h_a$. Для этого строим окружность с центром в точке $H$ и радиусом $h_a$. Точка пересечения окружности с прямой $q$ будет вершиной $A$.
   5. Из точки $A$ как из центра проводим окружность радиусом $l_a$. Эта окружность пересечет прямую $p$ в точке (или двух точках). Обозначим одну из точек пересечения как $L$.
   6. Соединяем точки $A$ и $L$. Прямоугольный треугольник $AHL$ построен. Мы определили положение вершины $A$, прямой $p$ (содержащей $BC$) и прямой $AL$ (содержащей биссектрису).
2. Построение сторон $AB$ и $AC$.
   1. Сначала необходимо построить угол, равный $\alpha/2$. Для этого строим заданный угол $\alpha$ и проводим его биссектрису.
   2. Строим луч $AC$ так, чтобы он выходил из точки $A$, образовывал с лучом $AL$ угол, равный $\alpha/2$, и лежал по одну сторону от прямой $AL$.
   3. Аналогично строим луч $AB$ так, чтобы он выходил из точки $A$, образовывал с лучом $AL$ угол, равный $\alpha/2$, и лежал по другую сторону от прямой $AL$.
3. Определение вершин $B$ и $C$.
   1. Находим точку пересечения луча $AB$ с прямой $p$. Это будет вершина $B$.
   2. Находим точку пересечения луча $AC$ с прямой $p$. Это будет вершина $C$.

Соединив точки $A$, $B$, и $C$, мы получаем искомый треугольник $ABC$.

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи:

• Высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$, по построению есть отрезок $AH$, и его длина равна $h_a$.
• Угол $\angle BAC$ по построению равен сумме двух углов по $\alpha/2$, то есть $\angle BAC = \angle BAL + \angle CAL = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$.
• Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\angle BAC$ по построению, и его длина равна $l_a$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение не при любых исходных данных.

1. Построение прямоугольного треугольника $AHL$ возможно только в том случае, если его гипотенуза $AL$ не короче катета $AH$. Таким образом, необходимое условие: $l_a \ge h_a$. Если $l_a < h_a$, задача не имеет решений.
2. Если $l_a = h_a$, то точки $H$ и $L$ совпадают. Это означает, что высота и биссектриса, проведенные из вершины $A$, совпадают. В этом случае треугольник $ABC$ будет равнобедренным с основанием $BC$. Построение остается возможным.
3. Если $l_a > h_a$, окружность с центром $A$ и радиусом $l_a$ пересекает прямую $p$ в двух точках, симметричных относительно точки $H$. Выбор любой из них в качестве точки $L$ приводит к построению одного и того же треугольника (с точностью до конгруэнтности), так как вторая точка даст зеркально-симметричный треугольник. Таким образом, решение единственно.
4. Для существования невырожденного треугольника необходимо, чтобы построенные лучи $AB$ и $AC$ пересекали прямую $p$. Луч $AC$ всегда пересекает прямую $p$, так как угол $\angle HAC = |\alpha/2 - \angle HAL|$ всегда меньше $90^\circ$. Пересечение луча $AB$ с прямой $p$ существует, если луч $AB$ не параллелен прямой $p$. Это означает, что угол между $AB$ и перпендикуляром $AH$ не должен быть равен $90^\circ$. То есть, $\angle HAB = \angle HAL + \alpha/2 \neq 90^\circ$. Если $\angle HAL + \alpha/2 = 90^\circ$, то луч $AB$ будет параллелен прямой $p$ и треугольник построить невозможно.

Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение при выполнении условий $l_a \ge h_a$ и $\arccos(h_a/l_a) + \alpha/2 \neq 90^\circ$.

Ответ: Треугольник строится на основе прямоугольного треугольника $AHL$, образованного высотой $h_a$ и биссектрисой $l_a$. Затем от луча биссектрисы $AL$ в разные стороны откладываются углы, равные половине заданного угла $\alpha$, до пересечения со прямой $HL$, что определяет две другие вершины треугольника. Построение возможно при $l_a \ge h_a$ и некоторых ограничениях на угол.