Страница 5 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8) Какую фигуру называют треугольником? Сформулируйте его определение. По рис. 0.6 назовите и укажите все его элементы.

Рис. 0.6

Какую фигуру называют треугольником? Сформулируйте его определение.
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Три точки называются вершинами треугольника, а три отрезка — его сторонами.
Ответ: Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

По рис. 0.6 назовите и укажите все его элементы.
На рисунке 0.6 изображен треугольник, который принято называть по его вершинам — треугольник ABC, что символически записывается как $\triangle ABC$.
Элементами данного треугольника являются:
- Вершины: точки A, B, C.
- Стороны: отрезки AB, BC, AC.
- Углы: углы, образованные при вершинах, — $\angle A$ (или $\angle BAC$), $\angle B$ (или $\angle ABC$) и $\angle C$ (или $\angle BCA$).
Ответ: На рисунке изображен треугольник $\triangle ABC$. Его элементы: вершины — A, B, C; стороны — AB, BC, AC; углы — $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

9) Что называется медианой треугольника? (Рис. 0.7.)

B

$D_3$

$D_1$

A

$D_2$

C

Рис. 0.7

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника есть ровно три медианы, по одной из каждой вершины.

На представленном Рисунке 0.7 изображен треугольник $ABC$, в котором проведены все три медианы: $AD_1$, $BD_2$ и $CD_3$. Рассмотрим каждую из них:

• Отрезок $AD_1$ соединяет вершину $A$ с точкой $D_1$ на стороне $BC$. Точка $D_1$ является серединой стороны $BC$, что на рисунке обозначено одинаковыми штрихами на отрезках $BD_1$ и $D_1C$. Это означает, что длины этих отрезков равны: $BD_1 = D_1C$. Таким образом, $AD_1$ является медианой треугольника $ABC$.
• Отрезок $BD_2$ соединяет вершину $B$ с точкой $D_2$ на стороне $AC$. Точка $D_2$ является серединой стороны $AC$, что обозначено двумя штрихами на отрезках $AD_2$ и $D_2C$. Это означает, что $AD_2 = D_2C$. Таким образом, $BD_2$ также является медианой.
• Отрезок $CD_3$ соединяет вершину $C$ с точкой $D_3$ на стороне $AB$. Точка $D_3$ является серединой стороны $AB$, что обозначено тремя штрихами на отрезках $AD_3$ и $D_3B$. Это означает, что $AD_3 = D_3B$. Следовательно, $CD_3$ — третья медиана треугольника.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

10) Что называется биссектрисой угла? (Рис. 0.8.)

Рис. 0.8

10) Что называется биссектрисой угла?

В геометрии биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит этот угол на два равных между собой угла.

На представленном рисунке 0.8 изображен угол $BAC$. Луч $AD$ является его биссектрисой.

Это означает, что луч $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAD$ и $\angle DAC$. На рисунке равенство этих углов показано одинаковыми дугами.

Таким образом, выполняется следующее равенство: $ \angle BAD = \angle DAC $

Также можно сказать, что каждый из полученных углов равен половине исходного угла: $ \angle BAD = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC $

Ответ: Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла.

11) Что такое биссектриса треугольника? (Рис. 0.9.)

$B$

$E_3$

$E_1$

$A$

$E_2$

$C$

Рис. 0.9

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

Иными словами, это часть луча, который выходит из вершины угла и делит этот угол на две равные части. Эта часть ограничена вершиной и точкой пересечения с противоположной стороной треугольника.

На представленном рисунке 0.9 в треугольнике $ABC$ проведены три биссектрисы, исходящие из каждой вершины:

• Отрезок $AE_1$ является биссектрисой угла $A$. Он делит угол $BAC$ на два равных угла: $\angle BAE_1 = \angle CAE_1$.
• Отрезок $BE_2$ является биссектрисой угла $B$. Он делит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABE_2 = \angle CBE_2$.
• Отрезок $CE_3$ является биссектрисой угла $C$. Он делит угол $BCA$ на два равных угла: $\angle BCE_3 = \angle ACE_3$.

Основные свойства биссектрисы треугольника:

1. Свойство о точке пересечения. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в данный треугольник. На рисунке видно, что отрезки $AE_1$, $BE_2$ и $CE_3$ пересекаются в одной точке.
2. Свойство о делении противоположной стороны (Теорема о биссектрисе). Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (прилежащим к углу). Например, для биссектрисы $BE_2$ угла $B$ выполняется соотношение: $$ \frac{AE_2}{CE_2} = \frac{AB}{CB} $$

Ответ: Биссектриса треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делит соответствующий угол треугольника пополам.

12) Что такое высота треугольника? (Рис. 0.10.)

B

$H_3$

$H_1$

A

$H_2$

C

Рис. 0.10

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит противоположную сторону. Эта противоположная сторона называется основанием для данной высоты.

В любом треугольнике можно провести три высоты, по одной из каждой вершины.

На представленном рисунке 0.10 изображен остроугольный треугольник $ABC$ и его три высоты:

• $AH₁$ — это высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. Символ прямого угла показывает, что отрезок $AH₁$ перпендикулярен стороне $BC$, что записывается как $AH₁ \perp BC$.
• $BH₂$ — это высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Соответственно, $BH₂ \perp AC$.
• $CH₃$ — это высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. Соответственно, $CH₃ \perp AB$.

Точки $H₁$, $H₂$ и $H₃$ называются основаниями высот.

Важным свойством является то, что все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике, как на рисунке, ортоцентр находится внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном — находится вне треугольника.

Ответ: Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

13) Какова сумма внутренних углов треугольника? По рис. 0.11 запишите это коротко на математическом языке.

$1 + 2 + 3 = 180^\circ$

Рис. 0.11

Согласно фундаментальной теореме планиметрии, сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда постоянна и равна $180^\circ$. Это означает, что если сложить градусные меры всех трех углов треугольника, результат всегда будет $180$ градусов.

На представленном рисунке 0.11 изображен треугольник $ABC$. Его внутренние углы обозначены цифрами:

• $\angle 1$ — это внутренний угол при вершине $A$.
• $\angle 2$ — это внутренний угол при вершине $B$.
• $\angle 3$ — это внутренний угол при вершине $C$.

Чтобы записать утверждение о сумме углов этого треугольника на математическом языке, нужно составить равенство, в котором сумма этих трех углов приравнивается к $180^\circ$.

Таким образом, краткая математическая запись теоремы для данного треугольника выглядит следующим образом: $$ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ $$

Ответ: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Согласно обозначениям на рис. 0.11, на математическом языке это записывается как: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$.

14) Что такое внешний угол треугольника? Покажите их на рис. 0.11. Какова зависимость между внутренним и внешним углами треугольника? Запишите эту зависимость для каждого внешнего угла.

Рис. 0.11

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника и образованный одной из его сторон и продолжением другой стороны. На рис. 0.11 внешние углы обозначены как 1, 2 и 3.

Зависимость между внутренним и внешним углами треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Зависимость для каждого внешнего угла:

Для внешнего угла 1 (при вершине A):

$ \angle 1 = \angle B + \angle C $

или

$ \angle 1 + \angle A = 180^\circ $

Для внешнего угла 2 (при вершине B):

$ \angle 2 = \angle A + \angle C $

или

$ \angle 2 + \angle B = 180^\circ $

Для внешнего угла 3 (при вершине C):

$ \angle 3 = \angle A + \angle B $

или

$ \angle 3 + \angle C = 180^\circ $

Что такое внешний угол треугольника? Покажите их на рис. 0.11.

Внешним углом треугольника называется угол, который является смежным с каким-либо внутренним углом этого треугольника. Иными словами, он образуется одной из сторон треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. На рисунке 0.11 показаны три внешних угла треугольника ABC:

Угол 1 — это внешний угол при вершине A.
Угол 2 — это внешний угол при вершине B.
Угол 3 — это внешний угол при вершине C.

Ответ: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов. На рисунке это углы, обозначенные цифрами 1, 2 и 3.

Какова зависимость между внутренним и внешним углами треугольника?

Существует две основные зависимости:

1. Сумма внешнего угла и смежного с ним внутреннего угла треугольника равна $180^\circ$. Это следует из определения смежных углов.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это является основной теоремой о внешнем угле треугольника.

Например, для внешнего угла 1, смежный с ним внутренний угол — это $\angle BAC$. Их сумма $\angle 1 + \angle BAC = 180^\circ$. При этом, согласно второй зависимости, $\angle 1$ равен сумме двух других внутренних углов: $\angle ABC + \angle ACB$.

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Также, сумма внешнего угла и смежного с ним внутреннего угла равна $180^\circ$.

Запишите эту зависимость для каждого внешнего угла.

Обозначим внутренние углы треугольника ABC как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Внешние углы обозначены на рисунке как $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.

Используя теорему о том, что внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, запишем зависимости для каждого внешнего угла на рисунке 0.11:

Для внешнего угла 1 (при вершине A): $\angle 1 = \angle B + \angle C$
Для внешнего угла 2 (при вершине B): $\angle 2 = \angle A + \angle C$
Для внешнего угла 3 (при вершине C): $\angle 3 = \angle A + \angle B$

Используя свойство смежных углов, зависимости выглядят так:

$\angle 1 + \angle A = 180^\circ$
$\angle 2 + \angle B = 180^\circ$
$\angle 3 + \angle C = 180^\circ$

Ответ: $\angle 1 = \angle B + \angle C$; $\angle 2 = \angle A + \angle C$; $\angle 3 = \angle A + \angle B$.

15) Какой треугольник называется равнобедренным? Назовите все элементы треугольника (рис. 0.12).

Элементы треугольника (рис. 0.12):

Вершины: A, B, C

Стороны: AB, AC, BC

Отрезки: AD, BD, DC

Углы: $ \angle B $, $ \angle C $, $ \angle BAD $, $ \angle CAD $, $ \angle ADB $, $ \angle ADC $

Рис. 0.12

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

Ответ: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Назовите все элементы треугольника (рис. 0.12).

На рисунке 0.12 изображен равнобедренный треугольник $ABC$. Его элементами являются:

• Боковые стороны — равные стороны треугольника. На рисунке это стороны $AB$ и $AC$ ($AB = AC$), они отмечены одинаковыми штрихами.
• Основание — третья сторона треугольника. На рисунке это сторона $BC$.
• Вершины — точки $A$, $B$, $C$. Вершина $A$, лежащая напротив основания, называется вершиной равнобедренного треугольника.
• Углы при основании — углы, прилежащие к основанию. На рисунке это углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$. В равнобедренном треугольнике они равны ($\angle ABC = \angle ACB$), что отмечено одинаковыми дугами.
• Угол при вершине — угол, противолежащий основанию, образованный боковыми сторонами. На рисунке это угол $\angle BAC$.
• Отрезок $AD$ — в равнобедренном треугольнике отрезок, проведенный из вершины к основанию, является одновременно высотой, медианой и биссектрисой:
  • Высота, так как он перпендикулярен основанию ($AD \perp BC$), что отмечено значком прямого угла.
  • Медиана, так как он делит основание пополам ($BD = DC$), что отмечено одинаковыми черточками на отрезках основания.
  • Биссектриса, так как он делит угол при вершине пополам ($\angle BAD = \angle CAD$), что отмечено дугами внутри угла $A$.

Ответ: Элементы треугольника $ABC$ на рис. 0.12: боковые стороны $AB$ и $AC$, основание $BC$, вершины $A, B, C$, углы при основании $\angle ABC$ и $\angle ACB$, угол при вершине $\angle BAC$, а также отрезок $AD$, который является высотой, медианой и биссектрисой.

16) Какой треугольник называется равносторонним? (Рис. 0.13.)

16) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину.

Пусть дан треугольник, например $ABC$. Он будет равносторонним, если длины его сторон равны: $AB = BC = CA$. На рисунке 0.13, который упоминается в вопросе, такой треугольник обычно изображается с одинаковыми пометками (например, черточками) на каждой из сторон для обозначения их равенства.

Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником, и он обладает следующими ключевыми свойствами:

Свойство 1: Равенство углов. Все три внутренних угла равностороннего треугольника равны между собой. Поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, каждый угол в равностороннем треугольнике равен $180^\circ \div 3 = 60^\circ$.

Свойство 2: Совпадение высот, медиан и биссектрис. В равностороннем треугольнике для любой вершины высота, проведенная к противолежащей стороне, также является и медианой, и биссектрисой. Все три высоты (а значит и медианы, и биссектрисы) треугольника равны между собой.

Свойство 3: Совпадение «замечательных» точек. Центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр (точка пересечения высот) и центроид (точка пересечения медиан) для равностороннего треугольника находятся в одной и той же точке.

Ответ: Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны.

17) Какой треугольник называется прямоугольным? Запишите все элементы треугольника (рис. 0.14).

Рис. 0.13

Какой треугольник называется прямоугольным?

Прямоугольным треугольником называется такой треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой. Два других угла в прямоугольном треугольнике являются острыми, и их сумма всегда составляет $90^\circ$.

Ответ: Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$.

Запишите все элементы треугольника (рис. 0.14).

Поскольку в условии упоминается "рис. 0.14", который отсутствует (вместо него приложен "рис. 0.13" с равнобедренным треугольником), мы опишем элементы для общего случая прямоугольного треугольника, так как первая часть вопроса посвящена именно ему.

Основные элементы любого треугольника — это его вершины, стороны и углы. В прямоугольном треугольнике они имеют следующие особенности и названия. Рассмотрим для примера прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C — прямой.

• Вершины: три точки, являющиеся концами сторон. В нашем случае это точки A, B и C.
• Стороны: три отрезка, соединяющие вершины.
  • Катеты: стороны, прилежащие к прямому углу. В треугольнике ABC это стороны AC и BC.
  • Гипотенуза: сторона, лежащая напротив прямого угла. В треугольнике ABC это сторона AB.
• Углы: три угла при вершинах.
  • Один прямой угол: $\angle C = 90^\circ$.
  • Два острых угла: $\angle A$ и $\angle B$. Их сумма всегда равна $90^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Ответ: Элементы прямоугольного треугольника: три вершины; три стороны, которые делятся на два катета и одну гипотенузу; три угла, один из которых прямой, а два других — острые.