Страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18) Сформулируйте и запишите в краткой форме признаки равенства треугольников, соответствующих рисункам 0.15 – 0.17.

Рис. 0.14

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В соответствии с Рис. 0.15:

Дано: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Следовательно: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рис. 0.15

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В соответствии с Рис. 0.16:

Дано: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Следовательно: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рис. 0.16

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В соответствии с Рис. 0.17:

Дано: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

Следовательно: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Рис. 0.17

Ниже представлены признаки равенства треугольников, сформулированные на основе предоставленных рисунков.

Этот рисунок иллюстрирует первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Мы видим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых, согласно отметкам, равны две стороны и угол, заключенный между ними.

Формулировка: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Краткая запись для данных треугольников:
Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$ (по одной черточке на сторонах)
$AC = A_1C_1$ (по двум черточкам на сторонах)
$\angle A = \angle A_1$ (по одной дуге на углах)
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Этот рисунок иллюстрирует второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). На рисунке показаны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых равны одна сторона и два угла, прилегающие к этой стороне.

Формулировка: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Краткая запись для данных треугольников:
Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AC = A_1C_1$ (по одной черточке на сторонах)
$\angle A = \angle A_1$ (по одной дуге на углах)
$\angle C = \angle C_1$ (по одной дуге на углах)
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Этот рисунок иллюстрирует третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Мы видим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых все три соответствующие стороны равны, что показано одинаковым количеством черточек на соответствующих сторонах.

Формулировка: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Краткая запись для данных треугольников:
Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$
$AB = A_1B_1$ (по одной черточке)
$AC = A_1C_1$ (по двум черточкам)
$BC = B_1C_1$ (по трем черточкам)
Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Признак равенства треугольников по трем сторонам.

19) Какая фигура называется окружностью? Что такое центр и радиус окружности? (Рис. 0.18.)

Рис. 0.18

Какая фигура называется окружностью?

Окружностью называется геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, равноудалённых от одной данной точки. Эта данная точка называется центром окружности. Окружность — это замкнутая кривая, которая делит плоскость на две части: внутреннюю (круг) и внешнюю.

На Рис. 0.18 показана окружность с центром в точке $O$. Точки $A, B, C, D$ лежат на этой окружности, то есть они все находятся на одинаковом расстоянии от центра $O$.

Ответ: Окружность — это множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром.

Что такое центр и радиус окружности?

Центр окружности — это точка, от которой равноудалены все точки окружности. На Рис. 0.18 центром является точка $O$.

Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Также радиусом называют любой отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Все радиусы одной и той же окружности имеют одинаковую длину. Радиус обычно обозначают латинской буквой $r$ или $R$. На Рис. 0.18 отрезок $OB$ является радиусом окружности. Длина отрезка $OB$ равна $r$.

Ответ: Центр — это точка, равноудалённая от всех точек окружности. Радиус — это отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности, а также его длина.

20) Что такое хорда?

20) Что такое хорда?

Хорда (от греческого слова χορδή, означающего «струна») — это отрезок прямой линии, концы которого лежат на одной и той же кривой. Чаще всего этот термин применяется к окружности. Таким образом, хорда окружности — это отрезок, соединяющий две любые точки данной окружности.

Любая хорда делит круг на две части, называемые сегментами, а окружность — на две дуги (большую и меньшую).

Основные свойства хорды в окружности:

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр является самой длинной из всех возможных хорд в данной окружности.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Верно и обратное: серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. И наоборот, хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны между собой.

Если две хорды окружности, $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $M$, то произведения отрезков, на которые они делятся точкой пересечения, равны между собой: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$.

Длину хорды ($L$) можно вычислить, зная радиус окружности $R$. Если известен центральный угол $\alpha$, который опирается на эту хорду, то формула длины хорды выглядит так: $L = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$. Если известно расстояние $d$ от центра окружности до хорды, то по теореме Пифагора длина хорды вычисляется следующим образом: $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$.

Ответ: Хорда — это отрезок прямой, который соединяет две любые точки на окружности или другой кривой.

21) Какая окружность называется описанной около данного треугольника? (Рис. 0.19.)

Рис. 0.19

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три его вершины.

На рисунке 0.19 показан треугольник $ABC$ и описанная около него окружность. Все вершины треугольника — точки $A$, $B$ и $C$ — лежат на этой окружности.

Центр описанной окружности, обозначенный как точка $O$, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Важным свойством центра описанной окружности является то, что он равноудален от всех вершин треугольника. Это расстояние равно радиусу ($R$) описанной окружности. Таким образом, для вершин треугольника $ABC$ и центра $O$ справедливо равенство: $OA = OB = OC = R$.

Для любого треугольника можно построить описанную окружность, и притом только одну.

Ответ: Описанной около данного треугольника называется окружность, которая проходит через все три его вершины.

22) Как определяется центр описанной окружности?

Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Основным и наиболее общим случаем является нахождение центра описанной окружности для треугольника. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Её центр находится с помощью серединных перпендикуляров.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Главное свойство этой прямой заключается в том, что любая её точка равноудалена от концов отрезка.

Рассмотрим треугольник с вершинами $A, B, C$. Центр описанной окружности $O$ должен находиться на одинаковом расстоянии от всех трех вершин, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

— Так как точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

— Так как точка $O$ равноудалена от вершин $B$ и $C$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

— Аналогично, из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром описанной окружности. Для практического нахождения центра достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения.

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:

— В остроугольном треугольнике центр лежит внутри треугольника.

— В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.

— В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

Этот же принцип применим и к другим многоугольникам, для которых можно построить описанную окружность (например, для любого правильного многоугольника): центр окружности будет лежать в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Ответ: Центр описанной окружности определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (в частности, треугольника).

23) Какая прямая называется касательной к окружности? (Рис. 0.20.)

K

O

Рис. 0.20

23)

Касательной к окружности называется прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

На рисунке 0.20 изображена окружность с центром в точке $O$. Прямая касается этой окружности в точке $K$, которая и является точкой касания.

Основное свойство касательной, которое также проиллюстрировано на рисунке, заключается в том, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На рисунке показан прямой угол между касательной и радиусом $OK$, что означает $OK$ ⊥ касательной.

Ответ: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Puc. 0.20

Puc. 0.21 Puc. 0.22

24) Какие окружности называются касающимся друг друга внутренним (внешним) образом? (Рис. 0.21, 0.22.)

$O_1$, $O_2$, $a$

Puc. 0.21

Puc. 0.22

Касание внутренним образом (Рис. 0.21)

Две окружности называются касающимися внутренним образом, если они имеют только одну общую точку, и при этом одна окружность находится внутри другой. Как показано на Рис. 0.21, у окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ есть общая точка касания, через которую проходит их общая касательная прямая a. Точка касания и центры $O_1$, $O_2$ лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $d$ равно разности их радиусов $R$ и $r$ (при $R > r$): $d = R - r$.

Ответ: Окружности, которые имеют одну общую точку и при этом одна из них расположена внутри другой, называются касающимися внутренним образом.

Касание внешним образом (Рис. 0.22)

Две окружности называются касающимися внешним образом, если они имеют только одну общую точку, и при этом каждая из них находится вне другой. Как показано на Рис. 0.22, у окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ есть общая точка касания и общая касательная прямая a. Точка касания и центры $O_1$, $O_2$ также лежат на одной прямой. Расстояние между центрами $d$ равно сумме их радиусов $R$ и $r$: $d = R + r$.

Ответ: Окружности, которые имеют одну общую точку и расположены одна вне другой, называются касающимися внешним образом.