Номер 22, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22) Как определяется центр описанной окружности?

Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Основным и наиболее общим случаем является нахождение центра описанной окружности для треугольника. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Её центр находится с помощью серединных перпендикуляров.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Главное свойство этой прямой заключается в том, что любая её точка равноудалена от концов отрезка.

Рассмотрим треугольник с вершинами $A, B, C$. Центр описанной окружности $O$ должен находиться на одинаковом расстоянии от всех трех вершин, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

— Так как точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

— Так как точка $O$ равноудалена от вершин $B$ и $C$, она должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

— Аналогично, из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка и является центром описанной окружности. Для практического нахождения центра достаточно построить два серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения.

Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:

— В остроугольном треугольнике центр лежит внутри треугольника.

— В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.

— В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

Этот же принцип применим и к другим многоугольникам, для которых можно построить описанную окружность (например, для любого правильного многоугольника): центр окружности будет лежать в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Ответ: Центр описанной окружности определяется как точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (в частности, треугольника).