Номер 26, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26) Как определяется центр вписанной в треугольник окружности?

Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения биссектрис его внутренних углов. Эта точка называется инцентром треугольника.

Обоснование

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, ее центр должен быть равноудален от всех трех сторон. Расстояние от центра до каждой стороны равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая ее точка равноудалена от сторон этого угла. Таким образом, точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника, должна одновременно принадлежать всем трем биссектрисам углов треугольника.

В любом треугольнике три биссектрисы его углов пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка и является центром вписанной окружности, так как она единственная точка, равноудаленная от всех трех сторон.

Способы нахождения центра

1. Геометрический (построением): Чтобы найти центр вписанной окружности, достаточно построить биссектрисы любых двух углов треугольника. Точка, в которой они пересекутся, и будет искомым центром. Проведение третьей биссектрисы подтвердит, что она также проходит через эту точку.

2. Аналитический (координатный метод): Если известны координаты вершин треугольника $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и длины противолежащих им сторон $a, b, c$, то координаты центра вписанной окружности (инцентра) $I(x_I, y_I)$ можно найти по формулам:

$x_I = \frac{a \cdot x_A + b \cdot x_B + c \cdot x_C}{a+b+c}$

$y_I = \frac{a \cdot y_A + b \cdot y_B + c \cdot y_C}{a+b+c}$

Ответ: Центр вписанной в треугольник окружности определяется как точка пересечения биссектрис его углов.