Страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25) Какая окружность называется вписанной в данный треугольник? (Рис. 0.23.)

Рис. 0.23

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. На представленном рисунке 0.23 изображен треугольник $ABC$ и вписанная в него окружность с центром в точке $O$.

Такая окружность касается каждой из сторон треугольника ровно в одной точке. На рисунке это точки $D$, $E$ и $F$, которые являются точками касания окружности со сторонами $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно. Центр вписанной окружности, точка $O$, также известный как инцентр, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Это значит, что лучи $AO$, $BO$ и $CO$ делят углы $A$, $B$ и $C$ пополам.

Важным свойством является то, что расстояние от центра $O$ до каждой из сторон треугольника одинаково и равно радиусу $r$ этой окружности. Эти расстояния представляют собой длины перпендикуляров, опущенных из центра на стороны: $OD \perp AB$, $OE \perp AC$ и $OF \perp BC$. Таким образом, выполняется равенство $OD = OE = OF = r$. В любой треугольник можно вписать окружность, и такая окружность всегда единственна.

Ответ: Окружность, которая касается всех трех сторон данного треугольника, называется вписанной в этот треугольник.

26) Как определяется центр вписанной в треугольник окружности?

Центр вписанной в треугольник окружности — это точка пересечения биссектрис его внутренних углов. Эта точка называется инцентром треугольника.

Обоснование

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, ее центр должен быть равноудален от всех трех сторон. Расстояние от центра до каждой стороны равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая ее точка равноудалена от сторон этого угла. Таким образом, точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника, должна одновременно принадлежать всем трем биссектрисам углов треугольника.

В любом треугольнике три биссектрисы его углов пересекаются в одной-единственной точке. Эта точка и является центром вписанной окружности, так как она единственная точка, равноудаленная от всех трех сторон.

Способы нахождения центра

1. Геометрический (построением): Чтобы найти центр вписанной окружности, достаточно построить биссектрисы любых двух углов треугольника. Точка, в которой они пересекутся, и будет искомым центром. Проведение третьей биссектрисы подтвердит, что она также проходит через эту точку.

2. Аналитический (координатный метод): Если известны координаты вершин треугольника $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и длины противолежащих им сторон $a, b, c$, то координаты центра вписанной окружности (инцентра) $I(x_I, y_I)$ можно найти по формулам:

$x_I = \frac{a \cdot x_A + b \cdot x_B + c \cdot x_C}{a+b+c}$

$y_I = \frac{a \cdot y_A + b \cdot y_B + c \cdot y_C}{a+b+c}$

Ответ: Центр вписанной в треугольник окружности определяется как точка пересечения биссектрис его углов.

27) Какой угол называется центральным? Как определяется градусная мера дуги окружности?

Рис. 0.24

Какой угол называется центральным?

Центральным углом в окружности называется угол, вершина которого находится в центре этой окружности, а стороны являются её радиусами. На представленном рисунке 0.24 изображена окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Лучи $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности. Угол $∠AOB$ с вершиной в центре окружности $O$ и сторонами $OA$ и $OB$ является центральным углом.

Ответ: Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами этой окружности.

Как определяется градусная мера дуги окружности?

Градусная мера дуги окружности определяется величиной центрального угла, который на неё опирается. Различают две дуги, на которые окружность делят точки $A$ и $B$.

• Градусная мера дуги, которая меньше полуокружности (или равна ей), равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Для дуги $AB$ на рисунке её градусная мера равна величине угла $∠AOB$.
• Градусная мера дуги, которая больше полуокружности, вычисляется как разность между $360°$ и градусной мерой соответствующего центрального угла.

Таким образом, если центральный угол $∠AOB$ равен $α$ градусов, то и градусная мера меньшей дуги $AB$ равна $α$ градусов. Градусная мера всей окружности составляет $360°$.

Ответ: Градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, который её стягивает.

0.1. Найдите градусную меру смежных углов, один из которых в два раза больше другого.

O.1.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями друг друга и образуют прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Пусть градусная мера меньшего угла будет $x$.

По условию задачи, второй угол в два раза больше первого. Значит, его градусная мера равна $2x$.

Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:

$x + 2x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение:

1. Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3x = 180^\circ$

2. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Мы нашли градусную меру меньшего угла, она составляет $60^\circ$.

3. Теперь найдем градусную меру большего угла:

$2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Проверка: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Условие, что один угол в два раза больше другого, также выполняется ($120^\circ = 2 \cdot 60^\circ$).

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

0.2. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна $60^\circ$. Найдите градусную меру этих углов.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Эти углы попарно являются либо смежными, либо вертикальными. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны друг другу.

В условии задачи сказано, что сумма двух углов, образовавшихся при пересечении, равна $60^\circ$. Поскольку эта сумма не равна $180^\circ$, эти два угла не могут быть смежными. Следовательно, данные углы являются вертикальными.

Обозначим градусную меру одного из этих углов как $\alpha$. Так как углы вертикальные, то они равны, и мера второго угла также будет $\alpha$. Согласно условию, их сумма равна $60^\circ$. Составим и решим уравнение:

$\alpha + \alpha = 60^\circ$

$2\alpha = 60^\circ$

$\alpha = \frac{60^\circ}{2}$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, градусная мера каждого из этих двух углов равна $30^\circ$. Стоит отметить, что две другие углы, образовавшиеся при пересечении, также являются вертикальными и их мера составляет $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Однако, в задаче требуется найти меру именно тех углов, чья сумма равна $60^\circ$.

Ответ: 30°, 30°.

0.3. На рис. 0.25 пять прямых пересекаются в одной точке. Найдите сумму заштрихованных углов.

Puc. 0.25

На рисунке изображены пять прямых, которые пересекаются в одной центральной точке. В результате пересечения вокруг этой точки образуется 10 углов.

При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой. На данном рисунке каждому заштрихованному углу соответствует вертикальный ему незаштрихованный угол.

Это означает, что совокупность всех заштрихованных углов равна совокупности всех незаштрихованных углов. Следовательно, сумма величин заштрихованных углов равна сумме величин незаштрихованных углов.

Сумма всех углов вокруг одной точки всегда составляет $360^\circ$. Обозначим сумму заштрихованных углов как $S$. Тогда сумма незаштрихованных углов также будет равна $S$.

Мы можем составить уравнение: $S (заштрихованные) + S (незаштрихованные) = 360^\circ$ $S + S = 360^\circ$ $2S = 360^\circ$

Чтобы найти $S$, разделим обе части уравнения на 2: $S = \frac{360^\circ}{2}$ $S = 180^\circ$

Таким образом, сумма заштрихованных углов равна $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$

0.4. Найдите градусную меру углов, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $270^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Сумма этих четырех углов равна полному углу, то есть $360^\circ$.

Обозначим эти углы как $\angle1, \angle2, \angle3, \angle4$.

$\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4 = 360^\circ$

По условию задачи, сумма трех из этих углов равна $270^\circ$. Без ограничения общности, предположим, что это первые три угла:

$\angle1 + \angle2 + \angle3 = 270^\circ$

Теперь мы можем найти величину четвертого угла, $\angle4$, вычтя сумму первых трех углов из общей суммы всех четырех углов:

$\angle4 = (\angle1 + \angle2 + \angle3 + \angle4) - (\angle1 + \angle2 + \angle3)$

$\angle4 = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$

При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов, сумма которых равна $180^\circ$.

Угол, вертикальный к $\angle4$ (пусть это будет $\angle2$), равен ему. Следовательно:

$\angle2 = \angle4 = 90^\circ$

Углы $\angle1$ и $\angle3$ являются смежными к углу $\angle4$ (а также к $\angle2$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем величину $\angle1$:

$\angle1 + \angle4 = 180^\circ$

$\angle1 = 180^\circ - \angle4 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Поскольку $\angle1$ и $\angle3$ являются вертикальными углами, они равны:

$\angle3 = \angle1 = 90^\circ$

Таким образом, все четыре угла, образовавшиеся при пересечении двух прямых, являются прямыми углами.

Проверка: сумма любых трех из этих углов равна $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ: все четыре угла равны $90^\circ$.

0.5. Найдите угол между биссектрисами смежных углов (рис. 0.26).

Рис. 0.26

0.5. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. На рисунке 0.26 показаны смежные углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, так как вместе они образуют развернутый угол $\angle AOC$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Луч $OE$ — это биссектриса угла $\angle AOB$. По определению, биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, угол $\angle EOB$ равен половине угла $\angle AOB$.

$\angle EOB = \frac{1}{2} \angle AOB$

Аналогично, луч $OF$ — это биссектриса угла $\angle BOC$. Следовательно, угол $\angle BOF$ равен половине угла $\angle BOC$.

$\angle BOF = \frac{1}{2} \angle BOC$

Угол между биссектрисами $OE$ и $OF$ — это угол $\angle EOF$. Из рисунка видно, что он равен сумме углов $\angle EOB$ и $\angle BOF$.

$\angle EOF = \angle EOB + \angle BOF$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle EOB$ и $\angle BOF$:

$\angle EOF = \frac{1}{2} \angle AOB + \frac{1}{2} \angle BOC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle EOF = \frac{1}{2} (\angle AOB + \angle BOC)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\angle EOF = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами двух смежных углов всегда является прямым углом.

Ответ: $90^\circ$.

0.6. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а каждая из боковых сторон – 7 см. Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В условии задачи дан равнобедренный треугольник. У равнобедренного треугольника две стороны, называемые боковыми, равны между собой, а третья сторона называется основанием.

Согласно условию:

• Длина основания равна 10 см.
• Длина каждой из двух боковых сторон равна 7 см.

Для того чтобы найти периметр (P) этого треугольника, необходимо сложить длины всех его трех сторон:

$P = \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона} + \text{основание}$

Подставим известные значения в формулу:

$P = 7 \text{ см} + 7 \text{ см} + 10 \text{ см}$

Выполним сложение:

$P = 14 \text{ см} + 10 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: 24 см.

0.7. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а боковая сторона – 10 см. Определите его основание.

0.7. В равнобедренном треугольнике две стороны, называемые боковыми, равны между собой. Третья сторона называется основанием.

Пусть $a$ — длина боковой стороны, а $c$ — длина основания.
Согласно условию задачи:
Длина боковой стороны $a = 10$ см.
Периметр треугольника $P = 32$ см.

Периметр любого треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника формула периметра выглядит следующим образом:
$P = a + a + c = 2a + c$

Чтобы найти длину основания $c$, подставим известные значения в эту формулу:
$32 = 2 \cdot 10 + c$

Теперь решим полученное уравнение:
$32 = 20 + c$
Чтобы найти $c$, вычтем 20 из 32:
$c = 32 - 20$
$c = 12$ см

Проверим, удовлетворяют ли найденные стороны (10 см, 10 см, 12 см) неравенству треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны:
$10 + 10 > 12 \implies 20 > 12$ (Верно)
$10 + 12 > 10 \implies 22 > 10$ (Верно)
Таким образом, треугольник с такими сторонами существует.

Ответ: 12 см.

0.8. Если каждый из двух углов треугольника равен $60^\circ$, то такой треугольник равносторонний. Докажите это.

Пусть дан треугольник, в котором два угла равны $60^\circ$. Обозначим вершины этого треугольника как $A$, $B$ и $C$, и пусть $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трёх внутренних углов равна $180^\circ$. Мы можем использовать это для нахождения величины третьего угла, $\angle C$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$60^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ$
$120^\circ + \angle C = 180^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$
$\angle C = 60^\circ$

Таким образом, мы выяснили, что все три угла треугольника равны между собой и составляют $60^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Так как все углы в нашем треугольнике равны, то и все стороны, противолежащие этим углам, также равны.

• Поскольку $\angle A = \angle B$, то стороны $BC$ и $AC$ равны ($BC=AC$).
• Поскольку $\angle B = \angle C$, то стороны $AC$ и $AB$ равны ($AC=AB$).

Из этих двух равенств следует, что все три стороны треугольника равны: $AB = BC = AC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является равносторонним.

Ответ: Что и требовалось доказать.

0.9. Отрезки $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Докажите, что $ΔMOP = ΔNOQ$ (рис. 0.27).

Рис. 0.27

Рассмотрим треугольники $ΔMOP$ и $ΔNOQ$.

По условию задачи отрезки $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Из этого следует, что:

1. $MO = ON$ (так как точка $O$ — середина отрезка $MN$).
2. $PO = OQ$ (так как точка $O$ — середина отрезка $PQ$).

Углы $∠MOP$ и $∠NOQ$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $MN$ и $PQ$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠MOP = ∠NOQ$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ΔMOP$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ΔNOQ$:

$MO = ON$
$PO = OQ$
$∠MOP = ∠NOQ$

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔMOP = ΔNOQ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔMOP$ и $ΔNOQ$ доказано. В треугольниках $ΔMOP$ и $ΔNOQ$ стороны $MO=ON$ и $PO=OQ$ по условию, а углы $∠MOP$ и $∠NOQ$ равны как вертикальные. Следовательно, $ΔMOP = ΔNOQ$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).