Страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. При пересечении двух параллельных прямых секущей разность внутренних односторонних углов равна $20^\circ$. Найдите величину каждого из восьми углов, образованных при пересечении этих прямых.

Пусть две параллельные прямые пересекаются секущей. Обозначим внутренние односторонние углы как $α$ и $β$.

Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180°$. Таким образом, у нас есть первое уравнение:
$α + β = 180°$

По условию задачи, разность этих углов равна $20°$. Предположим, что $α$ — больший угол, а $β$ — меньший. Тогда у нас есть второе уравнение:
$α - β = 20°$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases}α + β = 180° \\α - β = 20°\end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $α$:
$(α + β) + (α - β) = 180° + 20°$
$2α = 200°$
$α = \frac{200°}{2}$
$α = 100°$

Теперь подставим значение $α$ в первое уравнение, чтобы найти $β$:
$100° + β = 180°$
$β = 180° - 100°$
$β = 80°$

Итак, мы нашли величины двух внутренних односторонних углов: $100°$ и $80°$.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется всего восемь углов. Все эти углы либо равны друг другу, либо в сумме составляют $180°$. В нашем случае все образованные углы будут либо острыми ($80°$), либо тупыми ($100°$). В каждой из двух точек пересечения образуется по два острых и два тупых угла (как вертикальные и смежные).
Таким образом, из восьми образованных углов четыре будут равны $100°$, а другие четыре — $80°$.

Ответ: четыре угла равны $100°$ и четыре угла равны $80°$.

0.11. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть две прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В результате пересечения образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOB$ и $\angle COD$, а также $\angle BOC$ и $\angle AOD$.

Рассмотрим пару вертикальных углов $\angle AOB$ и $\angle COD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle COD$.

Проведем луч $OM$ как биссектрису угла $\angle AOB$ и луч $ON$ как биссектрису угла $\angle COD$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$\angle MOB = \frac{1}{2}\angle AOB$

$\angle CON = \frac{1}{2}\angle COD$

Чтобы доказать, что биссектрисы $OM$ и $ON$ лежат на одной прямой, необходимо показать, что угол $\angle MON$ является развернутым, то есть его величина составляет $180^\circ$.

Угол $\angle MON$ можно представить как сумму трех смежных углов: $\angle MOB$, $\angle BOC$ и $\angle CON$.

$\angle MON = \angle MOB + \angle BOC + \angle CON$

Подставим в это выражение формулы для половин углов, полученные из определения биссектрисы:

$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOB + \angle BOC + \frac{1}{2}\angle COD$

Так как $\angle AOB = \angle COD$, мы можем заменить $\angle COD$ на $\angle AOB$:

$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOB + \angle BOC + \frac{1}{2}\angle AOB$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$\angle MON = (\frac{1}{2}\angle AOB + \frac{1}{2}\angle AOB) + \angle BOC = \angle AOB + \angle BOC$

Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ являются смежными, так как у них общая сторона $OB$, а две другие стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую $AC$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

Следовательно, мы приходим к выводу, что $\angle MON = 180^\circ$.

Поскольку угол $\angle MON$ равен $180^\circ$, он является развернутым. Это означает, что лучи $OM$ и $ON$ являются продолжением друг друга, то есть лежат на одной прямой. Доказательство для биссектрис второй пары вертикальных углов ($\angle BOC$ и $\angle AOD$) проводится аналогично.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы вертикальных углов образуют развернутый угол ($180^\circ$), так как сумма половины одного из вертикальных углов, смежного с ним угла и половины второго вертикального угла равна сумме двух смежных углов, которая составляет $180^\circ$. Следовательно, биссектрисы лежат на одной прямой.

0.12. На рис. 0.28 $\angle BAC = 90^\circ$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$.

Докажите, что прямые $MN$ и $PQ$ параллельны.

Рис. 0.28

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ANP$. Поскольку по условию $\angle BAC = 90^\circ$, то и смежный с ним угол, который является углом треугольника $ANP$, а именно $\angle NAP$, также равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ANP$ — прямоугольный.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. В треугольнике $ANP$ острыми углами являются $\angle ANP$ и $\angle APN$. Из рисунка видно, что $\angle ANP$ совпадает с $\angle 2$, а $\angle APN$ совпадает с $\angle 3$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle 2 + \angle 3 = 90^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямые $MN$ и $PQ$, которые пересекает третья прямая (секущая) $NP$. Углы $\angle MNP$ и $\angle QPN$ являются внутренними односторонними углами.

4. Выразим эти углы через данные в условии. Из рисунка следует:
$\angle MNP = \angle 1 + \angle 2$
$\angle QPN = \angle 3 + \angle 4$

5. По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. Используем эти равенства:
$\angle MNP = \angle 2 + \angle 2 = 2 \cdot \angle 2$
$\angle QPN = \angle 3 + \angle 3 = 2 \cdot \angle 3$

6. Найдем сумму внутренних односторонних углов:
$\angle MNP + \angle QPN = (2 \cdot \angle 2) + (2 \cdot \angle 3) = 2(\angle 2 + \angle 3)$.

7. Из пункта 2 мы установили, что $\angle 2 + \angle 3 = 90^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle MNP + \angle QPN = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

8. Согласно одному из признаков параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны.
Поскольку сумма углов $\angle MNP$ и $\angle QPN$ равна $180^\circ$, то прямые $MN$ и $PQ$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $MN$ и $PQ$ доказана.

0.13. Докажите, что для любого треугольника ABC выполняются следующие утверждения:

Рис. 0.28

1) биссектриса угла А с высотой, проведенной из этой вершины, образует угол, равный $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$;

2) биссектриса внешнего угла В и биссектриса угла С образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A)$;

3) биссектрисы углов В и С образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A) + 90^{\circ}$.

1) биссектриса угла A с высотой, проведенной из этой вершины, образует угол, равный $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$;

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH$ (где $H$ лежит на прямой $BC$) и биссектриса $AL$. Нам нужно доказать, что угол между ними, $\angle HAL$, равен $\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$.

Для определенности, предположим, что $\angle B > \angle C$. Это означает, что основание высоты $H$ лежит между $B$ и $L$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB = 90^\circ$). Сумма острых углов в нем равна $90^\circ$, следовательно, $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAL = \frac{1}{2}\angle A$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C$.
Следовательно, $\angle BAL = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B - \angle C) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$.

Искомый угол $\angle HAL$ можно найти как разность углов $\angle BAL$ и $\angle BAH$:
$\angle HAL = \angle BAL - \angle BAH$
$\angle HAL = (90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C) - (90^\circ - \angle B)$
$\angle HAL = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C - 90^\circ + \angle B$
$\angle HAL = \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$

Если бы мы предположили, что $\angle C > \angle B$, то аналогичные рассуждения привели бы к результату $\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$. Таким образом, в общем случае угол между высотой и биссектрисой равен половине модуля разности двух других углов треугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

2) биссектриса внешнего угла B и биссектриса угла C образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A)$;

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $CD$ внутреннего угла $C$ и биссектриса $BD$ внешнего угла при вершине $B$. Пусть $D$ — точка их пересечения. Нам нужно найти величину угла $\angle BDC$.

Внешний угол при вершине $B$ (смежный с внутренним углом $\angle B$) равен $180^\circ - \angle B$. Пусть этот внешний угол образован продолжением стороны $CB$ за точку $B$. Биссектриса $BD$ делит его пополам.

Рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle BDC + \angle DBC + \angle DCB = 180^\circ$.

Найдем углы этого треугольника:
- $CD$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle DCB = \frac{1}{2}\angle C$.
- Угол $\angle DBC$ в треугольнике $BDC$ является суммой внутреннего угла $\angle ABC$ и угла $\angle ABD$, где $BD$ - биссектриса внешнего угла. Угол $\angle ABD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B) = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B$. Таким образом, $\angle DBC = \angle ABC + \angle ABD = \angle B + (90^\circ - \frac{1}{2}\angle B) = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle B$.

Подставим найденные значения в уравнение для суммы углов треугольника $BDC$:
$\angle BDC + (90^\circ + \frac{1}{2}\angle B) + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C = 90^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Из суммы углов треугольника $ABC$ известно, что $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$. Подставим это выражение:
$\angle BDC = 90^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A$

Ответ: Утверждение доказано.

3) биссектрисы углов B и C образуют угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A) + 90^\circ$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $BI$ и $CI$ внутренних углов $B$ и $C$. Точка их пересечения $I$ является центром вписанной окружности (инцентром). Нам нужно найти величину угла $\angle BIC$.

Рассмотрим треугольник $BIC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:
$\angle BIC + \angle IBC + \angle ICB = 180^\circ$

Найдем углы этого треугольника:
- Так как $BI$ — биссектриса угла $B$, то $\angle IBC = \frac{1}{2}\angle B$.
- Так как $CI$ — биссектриса угла $C$, то $\angle ICB = \frac{1}{2}\angle C$.

Подставим эти значения в уравнение суммы углов:
$\angle BIC + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$

Выразим искомый угол $\angle BIC$:
$\angle BIC = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$

Из суммы углов треугольника $ABC$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$) выразим сумму углов $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A$.

Подставим это выражение в формулу для $\angle BIC$:
$\angle BIC = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A) = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$

Ответ: Утверждение доказано.

0.14. Если $ \alpha $ и $ \beta $ – два угла треугольника, то под каким углом пересекаются биссектрисы этих углов?

Пусть дан треугольник с углами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Сумма углов любого треугольника составляет $ 180^\circ $, следовательно:
$ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Проведем биссектрисы углов $ \alpha $ и $ \beta $. Точку их пересечения обозначим как O. Эти биссектрисы образуют новый треугольник с вершинами в точке O и двух вершинах исходного треугольника.

По определению, биссектриса делит угол пополам. Поэтому углы у основания этого нового треугольника будут равны $ \frac{\alpha}{2} $ и $ \frac{\beta}{2} $.

Обозначим угол при вершине O этого нового треугольника (то есть один из углов пересечения биссектрис) как $ \phi $. Сумма углов в этом новом треугольнике также равна $ 180^\circ $. Мы можем составить уравнение:
$ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \phi = 180^\circ $

Теперь выразим $ \phi $ из этого уравнения, чтобы найти угол пересечения:
$ \phi = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) $
$ \phi = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $

Это один из углов, образованных при пересечении биссектрис. Поскольку в треугольнике сумма двух углов $ \alpha + \beta $ всегда меньше $ 180^\circ $, то $ \frac{\alpha + \beta}{2} < 90^\circ $. Следовательно, угол $ \phi = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $ всегда будет больше $ 90^\circ $ (тупой угол).

Пересекающиеся прямые образуют две пары смежных углов, сумма которых равна $ 180^\circ $. Второй угол пересечения (острый) будет равен:
$ 180^\circ - \phi = 180^\circ - \left(180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\alpha + \beta}{2} $

Таким образом, биссектрисы пересекаются под двумя углами, один из которых тупой, а другой острый.

Ответ: Биссектрисы пересекаются под углами $ 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} $ и $ \frac{\alpha + \beta}{2} $.

0.15. Могут ли быть взаимно перпендикулярными биссектрисы двух углов треугольника?

Для ответа на этот вопрос используем метод доказательства от противного. Предположим, что такой треугольник существует, и биссектрисы двух его углов взаимно перпендикулярны.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его углы как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ при вершинах $A$, $B$ и $C$ соответственно. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Проведем биссектрисы двух углов, например, из вершин $A$ и $B$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $I$. Точка $I$ является центром вписанной окружности.

Поскольку $AI$ и $BI$ являются биссектрисами, они делят углы $\alpha$ и $\beta$ пополам. Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Его углы будут:

• $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$
• $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$
• $\angle AIB$ — угол между биссектрисами.

Сумма углов в треугольнике $\triangle AIB$ также равна $180^\circ$:
$\angle IAB + \angle IBA + \angle AIB = 180^\circ$

Подставим известные нам значения углов:
$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \angle AIB = 180^\circ$

По нашему предположению, биссектрисы взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle AIB = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + 90^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно суммы углов $\alpha$ и $\beta$:
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - 90^\circ$
$\frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ$
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Мы получили, что сумма двух углов ($\alpha$ и $\beta$) нашего исходного треугольника $\triangle ABC$ должна быть равна $180^\circ$. Но сумма всех трех углов треугольника равна $180^\circ$:
$(\alpha + \beta) + \gamma = 180^\circ$

Подставив полученный результат, имеем:
$180^\circ + \gamma = 180^\circ$
Отсюда следует, что $\gamma = 0^\circ$.

Треугольник не может иметь угол, равный $0^\circ$, так как в этом случае он вырождается в отрезок. Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, биссектрисы двух углов треугольника не могут быть взаимно перпендикулярными.

0.16. Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а его гипотенуза - 32 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота, проведенная из вершины прямого угла (рис. 0.29).

Рис. 0.29

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 32$ см, а один из острых углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Требуется найти длины отрезков $AH$ и $BH$.

Сначала рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, второй острый угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$, поэтому его длина составляет:
$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BCH$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота ($\angle CHB = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle B = 60^\circ$. Тогда третий угол этого треугольника, $\angle BCH$, равен $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCH = 30^\circ$. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона $BC$, длина которой равна 16 см. Следовательно, длина катета $BH$ равна половине гипотенузы $BC$:
$BH = \frac{1}{2} BC = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка $AH$ и $BH$. Так как $AB = AH + BH$, мы можем найти длину второго отрезка $AH$:
$AH = AB - BH = 32 - 8 = 24$ см.

Таким образом, искомые длины отрезков гипотенузы равны 8 см и 24 см.

Ответ: 8 см и 24 см.

0.17. Из точки $A$ к окружности проведены

касательные $AB$ и $AC$, где $B$ и $C$ – точки касания.

Докажите, что $AB = AC$.

Дано:

Окружность с центром в точке $O$. Точка $A$ расположена вне этой окружности. $AB$ и $AC$ — касательные к окружности, проведенные из точки $A$, где $B$ и $C$ — точки касания.

Доказать:

$AB = AC$.

Доказательство:

1. Соединим центр окружности $O$ с точками касания $B$ и $C$, а также с точкой $A$. Получим отрезки $OB$, $OC$ и $AO$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

3. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми, то есть $\angle OBA = 90^\circ$ и $\angle OCA = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ — прямоугольные.

4. Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• $OB = OC$, так как они являются радиусами одной и той же окружности.
• Сторона $AO$ является общей гипотенузой для обоих треугольников.

5. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ равны по гипотенузе и катету.

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AB$ треугольника $\triangle OAB$ соответствует катету $AC$ треугольника $\triangle OAC$.

Следовательно, $AB = AC$, что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны между собой.

0.18. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а его основание в два раза меньше боковой стороны. Найдите стороны треугольника.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Поскольку по условию основание в два раза меньше боковой стороны, то его длина составляет $\frac{x}{2}$ см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника с двумя равными боковыми сторонами и основанием формула периметра $P$ выглядит так: $P = \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона} + \text{основание}$

Подставим наши переменные и известное значение периметра ($P=50$ см), чтобы составить уравнение: $x + x + \frac{x}{2} = 50$

Упростим и решим полученное уравнение: $2x + \frac{x}{2} = 50$

Чтобы избавиться от дроби, приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю 2: $\frac{4x}{2} + \frac{x}{2} = 50$ $\frac{5x}{2} = 50$

Теперь найдем $x$: $5x = 50 \cdot 2$ $5x = 100$ $x = \frac{100}{5}$ $x = 20$

Следовательно, длина каждой боковой стороны треугольника равна 20 см.

Теперь найдем длину основания: $\text{Основание} = \frac{x}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Таким образом, стороны треугольника: 20 см, 20 см и 10 см. Проверим правильность решения: периметр $20 + 20 + 10 = 50$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: две стороны по 20 см, одна сторона 10 см.

0.19. Прямая $a$ проходит через середину отрезка $MN$. Докажите, что точки $M$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$ (рис. 0.30).

Рис. 0.30

Дано:

Отрезок $MN$.
Прямая $a$ проходит через точку $O$, которая является серединой отрезка $MN$.
Следовательно, $MO = NO$.
$MP \perp a$ и $NK \perp a$ (по определению расстояния от точки до прямой).

Доказать:

Точки $M$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $a$, то есть $MP = NK$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, образованных на рисунке: $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$.

1. Эти треугольники являются прямоугольными, так как отрезки $MP$ и $NK$ — это перпендикуляры к прямой $a$. Таким образом, $\angle MPO = \angle NKO = 90^\circ$.

2. Стороны $MO$ и $NO$ являются гипотенузами в этих треугольниках. По условию задачи, точка $O$ — середина отрезка $MN$, поэтому гипотенузы равны: $MO = NO$.

3. Углы $\angle MOP$ и $\angle NOK$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямой $a$ и отрезка $MN$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$ равны по гипотенузе и острому углу (признак равенства прямоугольных треугольников).

Поскольку треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. Катет $MP$ в $\triangle MPO$ соответствует катету $NK$ в $\triangle NKO$. Отсюда следует, что $MP = NK$.

Так как $MP$ и $NK$ — это расстояния от точек $M$ и $N$ до прямой $a$, то мы доказали, что эти расстояния равны.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $M$ и $N$ равноудалены от прямой $a$. Это следует из равенства прямоугольных треугольников $\triangle MPO$ и $\triangle NKO$, которое доказывается по гипотенузе ($MO=NO$ по условию) и острому углу ($\angle MOP=\angle NOK$ как вертикальные). Равенство расстояний $MP$ и $NK$ следует из равенства треугольников как равенство их соответствующих катетов.