Номер 0.16, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.16. Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, а его гипотенуза - 32 см. Найдите длины отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота, проведенная из вершины прямого угла (рис. 0.29).

Рис. 0.29

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 32$ см, а один из острых углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$. Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Требуется найти длины отрезков $AH$ и $BH$.

Сначала рассмотрим исходный треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, второй острый угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$, поэтому его длина составляет:
$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $BCH$. Он является прямоугольным, так как $CH$ — высота ($\angle CHB = 90^\circ$). Мы знаем, что $\angle B = 60^\circ$. Тогда третий угол этого треугольника, $\angle BCH$, равен $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BCH = 30^\circ$. Гипотенузой в этом треугольнике является сторона $BC$, длина которой равна 16 см. Следовательно, длина катета $BH$ равна половине гипотенузы $BC$:
$BH = \frac{1}{2} BC = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота $CH$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка $AH$ и $BH$. Так как $AB = AH + BH$, мы можем найти длину второго отрезка $AH$:
$AH = AB - BH = 32 - 8 = 24$ см.

Таким образом, искомые длины отрезков гипотенузы равны 8 см и 24 см.

Ответ: 8 см и 24 см.